概率论与数理统计知识点总结(免费超详细版) 概率论与数理统计笔记总结

        《概率论与数理统计》且S=⋃BAφ=⋂BA，则称事件A与事件B互为逆事件，又称事件A与事件B互为对立事件2．运算规则交换律ABBAABBA⋂=⋂⋃=⋃结合律)()()()(CBACBACBACBA⋂=⋂⋃⋃=⋃⋃分配律)()B(CAACBA⋃⋂⋃=⋂⋃）（))(()(CABACBA⋂⋂=⋃⋂徳摩根律BABAABA⋃=⋂⋂=⋃B—§3．频率与概率定义在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数An称为事件A发生的频数，比值nnA称为事件A发生的频率概率：设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一事件A赋予一个实数，记为P（A），称为事件的概率1．概率)(AP满足下列条件：

        （1）非负性：对于每一个事件A1)(0≤≤AP

        （2）规范性：对于必然事件S1)S(=P

        （3）可列可加性：设nAAA,,,21Λ是两两互不相容的事件，有∑===nkknkkAPAP11)()(Y（n可以取∞）2．概率的一些重要性质：（i）0)(=φP（ii）若nAAA,,,21Λ是两两互不相容的事件，则有∑===nkknkkAPAP11)()(Y（n可以取∞）（iii）设A，B是两个事件若BA⊂，则)()()(APBPABP-=-，)A()B(PP≥（iv）对于任意事件A，1)(≤AP（v）)

        (1)(APAP-=（逆事件的概率）（vi）对于任意事件A，B有)()()()(ABPBPAPBAP-+=⋃§4等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同若事件A包含k个基本事件，即}{}{}{2]1kiiieeeAYΛYY=，里个不同的数，则有中某，是，，kkn2,1iii,21ΛΛ()中基本事件的总数包含的基本事件数S}{)(1jAnkePAPkji===∑=§5．条件概率

        （1）（2）定义：设A,B是两个事件，且0)(>AP，称)()()|(APABPABP=为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率

        （3）（4）条件概率符合概率定义中的三个条件1。非负性：对于某一事件B，有0)|(≥ABP2。规范性：对于必然事件S，1)|(=ASP3可列可加性：设Λ,,21BB是两两互不相容的事件，则有∑∞=∞==11)()(iiiiABPABPY

        （5）（6）乘法定理设0)(>AP，则有)|()()(BAPBPABP=称为乘法公式

        （7）（8）全概率公式：∑==niiiBAPBPAP1)|()()(贝叶斯公式：∑==niiikkkBAPBPBAPBPABP1)|()()|()()|(§6．独立性定义设A，B是两事件，如果满足等式)()()(BPAPABP=，则称事件A,B相互独立定理一设A，B是两事件，且0)(>AP，若A，B相互独立，则()BPABP=)|(定理二若事件A和B相互独立，则下列各对事件也相互独立：A与————与，与，BABAB定义设随机试验的样本空间为X(e)X{e}.S==是定义在样本空间S上的实值单值函数，称X(e)X=为随机变量§2离散性随机变量及其分布律1．2．离散随机变量：有些随机变量，它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个，这种随机变量称为离散型随机变量kk)(pxXP==满足如下两个条件

        （1）0k≥p，

        （2）∑∞=1kkP=13．4．三种重要的离散型随机变量

        （1）分布设随机变量X只能取与1两个值，它的分布律是)101,0kp-1p)k(k-1k<<===pXP（，）（，则称X服从以p为参数的分布或两点分布。

        （2）伯努利实验、二项分布设实验E只有两个可能结果：A与—A，则称E为伯努利实验.设1)p0pP(A)<<=（，此时p-1)AP(=—.将E独立重复的进行n次，则称这一串重复的独立实验为n重伯努利实验。n2,1,0kqpkn)kX(k-nkΛ，，=⎪⎪⎭⎫⎝⎛==P满足条件

        （1）0k≥p，

        （2）∑∞=1kkP=1注意到k-nkqpkn⎪⎪⎭⎫⎝⎛是二项式nqp）（+的展开式中出现kp的那一项，我们称随机变量X服从参数为n，p的二项分布。

        （3）泊松分布设随机变量X所有可能取的值为0,1,2…，而取各个值的概率为,2,1,0,k!e)kX(-kΛ===kPλλ其中0>λ是常数，则称X服从参数为λ的泊松分布记为）（λπ~X§3随机变量的分布函数定义设X是一个随机变量，x是任意实数，函数∞<<∞≤=x-x},P{X)x(F称为X的分布函数分布函数)()(xXPxF≤=，具有以下性质

        (1))(xF是一个不减函数

        （2）1)(,0)

        (1)(0=∞=-∞≤≤FFxF，且

        （3）是右连续的即)(),()0(xFxFxF=+§4连续性随机变量及其概率密度连续随机变量：如果对于随机变量X的分布函数F（x），存在非负可积函数)(xf，使对于任意函数x有,dttf)x(Fx-⎰∞=）（则称x为连续性随机变量，其中函数f(x)称为X的概率密度函数，简称概率密度1概率密度)(xf具有以下性质，满足

        （1）1)(

        (2),0)(-=≥⎰+∞∞dxxfxf；

        （3）⎰=≤≤21)()(21xxdxxfxXxP；

        （4）若)(xf在点x处连续，则有=)(Fx，)(xf2，三种重要的连续型随机变量

        (1)均匀分布若连续性随机变量X具有概率密度⎪⎩⎪⎨⎧<<=，其他，0aa-b1)(bxxf，则成X在区间(a,b)上服从均匀分布.记为），（baU~X

        (2)指数分布若连续性随机变量X的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>=，其他，00.e1)(x-xxfθθ其中0>θ为常数，则称X服从参数为θ的指数分布。

        （3）正态分布若连续型随机变量X的概率密度为，，）∞<<∞=--xexfx-21)(222(σμσπσμσσμ，服从参数为为常数，则称（，其中X)0>的正态分布或高斯分布，记为），（2N~Xσμ特别，当10==σμ，时称随机变量X服从标准正态分布§5随机变量的函数的分布定理设随机变量X具有概率密度,-)(x∞<<∞xxf，又设函数)(xg处处可导且恒有0)(,>xg，则Y=)(Xg是连续型随机变量，其概率密度为[]⎩⎨⎧<<=其他，0,)()()(,βαyyhyhfyfXY设（X，Y）是二维随机变量，对于任意实数x，y，二元函数y}YxP{Xy)}(Yx)P{(XyxF≤≤≤⋂≤=，记成），（称为二维随机变量（X，Y）的分布函数如果二维随机变量（X，Y）全部可能取到的值是有限对或可列无限多对，则称（X，Y）是离散型的随机变量。我们称Λ，，，，2,1ji)yY(ijji====pxXP为二维离散型随机变量（X，Y）的分布律。对于二维随机变量（X，Y）的分布函数），（yxF，如果存在非负可积函数f（x，y），使对于任意x，y有，），（），（⎰⎰∞∞=y-x-dudvvufyxF则称（X，Y）是连续性的随机变量，函数f（x，y）称为随机变量（X，Y）的概率密度，或称为随机变量X和Y的联合概率密度。

        §2边缘分布二维随机变量（X，Y）作为一个整体，具有分布函数），（yxF.而X和Y都是随机变量，各自也有分布函数，将他们分别记为）（（y),xFXYF，依次称为二维随机变量（X，Y）关于X和关于Y的边缘分布函数。Λ，，2,1i}xP{Xp1jiiji====∑∞=•pΛ，，2,1j}yP{Yp1iiij====∑∞=•jp分别称•ipjp•为（X，Y）关于X和关于Y的边缘分布律。⎰∞∞-=dyyxfxfX）,()(⎰∞∞-=dxyxfyfY）,()(分别称)(xfX，)(yfY为X，Y关于X和关于Y的边缘概率密度。

        §3条件分布定义设（X，Y）是二维离散型随机变量，对于固定的j，若,0}{>=jyYP则称Λ,2,1,}{},{}{========•ippyYPyYxXPyYxXPjijjjiji为在jyY=条件下随机变量X的条件分布律，同样Λ,2,1,}{},{}{========•jppxXPyYxXPXXyYPiijijiij为在ixX=条件下随机变量X的条件分布律。设二维离散型随机变量（X，Y）的概率密度为),(yxf，（X，Y）关于Y的边缘概率密度为)(yfY，若对于固定的y，)(yfY〉0，则称)(),(yfyxfY为在Y=y的条件下X的条件概率密度，记为)(yxfYX=)(),(yfyxfY§4相互独立的随机变量定义设），（yxF及)(FxX，)(FyY分别是二维离散型随机变量（X，Y）的分布函数及边缘分布函数.若对于所有x,y有y}}P{Y{},{≤≤===xXPyYxXP，即(y))F(F},{FYXxyx=，则称随机变量X和Y是相互独立的。对于二维正态随机变量（X，Y），X和Y相互独立的充要条件是参数0=ρ§5两个随机变量的函数的分布1，Z=X+Y的分布设(X,Y)是二维连续型随机变量，它具有概率密度),(yxf.则Z=X+Y仍为连续性随机变量，其概率密度为⎰∞∞-+-=dyyyzfzfYX）,()(或⎰∞∞-+-=dxxzxfzfYX）,()(又若X和Y相互独立，设（X，Y）关于X，Y的边缘密度分别为)(),(yfxfYX则⎰∞∞-+-=dyfyzfzfYXYXy)()(（）和⎰∞∞-+-=dxxzfxfzfYXYX)(()(）这两个公式称为YXff，的卷积公式有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布2，的分布的分布、XYZXYZ==设(X,Y)是二维连续型随机变量，它具有概率密度),(yxf，则XYZXYZ==，仍为连续性随机变量其概率密度分别为dxxzxfxzfXY),()(⎰∞∞-=dxxzxfxzfXY),

        (1)(⎰∞∞-=又若X和Y相互独立，设（X，Y）关于X，Y的边缘密度分别为)(),(yfxfYX则可化为dxxzfxfzfYXXY⎰∞∞-=)()()(dxxzfxfxzfYXY)()

        (1)(X⎰∞∞-=3的分布及，},min{NY}{XmaxYXM==设X，Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为)(),(yFxFYX由于Y}{Xmax，=M不大于z等价于X和Y都不大于z故有z}Yz,P{Xz}P{M≤≤=≤又由于X和Y相互独立，得到Y}{Xmax，=M的分布函数为)()()(maxzFzFzFYX=},min{NYX=的分布函数为[][])

        (1)

        (11)(minzFzFzFYX---=收敛，则称级数∑∞=1kkkpx的和为随机变量X的数学期望，记为)(XE，即∑=ikkpxXE)(设连续型随机变量X的概率密度为)(xf，若积分⎰∞∞-dxxxf)(绝对收敛，则称积分⎰∞∞-dxxxf)(的值为随机变量X的数学期望，记为)(XE，即⎰+∞∞-=dxxxfXE)()(定理设Y是随机变量X的函数Y=)(Xg(g是连续函数)（i）如果X是离散型随机变量，它的分布律为kpXP==}x{k，k=1,2，…若kkkpxg∑∞=1(）绝对收敛则有=)Y(E=))((XgEkkkpxg∑∞=1(）（ii）如果X是连续型随机变量，它的分概率密度为)(xf，若⎰∞∞-dxxfxg)()(绝对收敛则有=)Y(E=))((XgE⎰∞∞-dxxfxg)()(数学期望的几个重要性质1设C是常数，则有CCE=)(2设X是随机变量，C是常数，则有)()(XCECXE=3设X,Y是两个随机变量，则有)()()(YEXEYXE+=+；4设X，Y是相互独立的随机变量，则有)()()(YEXEXYE=§2方差定义设X是一个随机变量，若[]})({2XEXE-存在，则称[]})({2XEXE-为X的方差，记为D（x）即D（x）=[]})({2XEXE-，在应用上还引入量)(xD，记为)(xσ，称为标准差或均方差。

        222)()())(()(EXXEXEXEXD-=-=方差的几个重要性质1设C是常数，则有,0)(=CD2设X是随机变量，C是常数，则有)(C)(2XDCXD=，D(X))(=+CXD3设X,Y是两个随机变量，则有E(Y))}-E(X))(Y-2E{(XD(Y)D(X))(++=+YXD特别，若X,Y相互独立，则有)()()(YDXDYXD+=+40)(=XD的充要条件是X以概率1取常数E(X)，即1)}({==XEXP切比雪夫不等式：设随机变量X具有数学期望2)(σ=XE，则对于任意正数ε，不等式22}-XP{εσεμ≤≥成立§3协方差及相关系数定义量)]}()][({[YEYXEXE--称为随机变量X与Y的协方差为),(YXCov，即)()()())]())(([(),(YEXEXYEYEYXEXEYXCov-=--=而D(Y)D(X)YX(XY），Cov=ρ称为随机变量X和Y的相关系数对于任意两个随机变量X和Y，),

        (2)()()_(YXCovYDXDYXD-++=+协方差具有下述性质1),(),(),,(),(YXabCovbYaXCovXYCovYXCov==2),(),(),(2121YXCovYXCovYXXCov+=+定理11≤XYρ21=XYρ的充要条件是，存在常数a,b使1}{=+=bxaYP当=XYρ0时，称X和Y不相关附：几种常用的概率分布表kknXnP定义设ΛΛnYYY,,21是一个随机变量序列，a是一个常数，若对于任意正数ε，有1}{lim=<-∞→εaYPnn，则称序列ΛΛnYYY,,21依概率收敛于a，记为aYpn−→−伯努利大数定理设Af是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意正数ε〉0，有1}{lim=<-∞→εpnfPnn或0}{lim=≥-∞→εpnfPnn§2中心极限定理定理一（独立同分布的中心极限定理）设随机变量nXXX,,,21Λ相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差2)(,)(σμ==kiXDXE（k=1,2，…），则随机变量之和标准化变量∑=nikX1，σμnnXXDXEXYniknkknknkkkn∑∑∑∑====-=-=1111)()(，定理二（李雅普诺夫定理）设随机变量nXXX,,,21Λ…相互独立，它们具有数学期望和方差Λ2,1,0)(,)(2=>==kXDXEkkkkσμ记∑==nkknB122ε定理三（棣莫弗-拉普拉斯定理）设随机变量10(,),2,1(<<=ppnnn服从参数为Λη）的二项分布，则对任意x，有)(21})1({lim22xdtexpnpnpPxtnnΦ==≤--⎰∞--∞→πηForpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse.NurfürdenpersönlichenfürStudien,Forschung,zukommerziellenZweckenverwendetwerden.Pourl'étudeetlarechercheuniquementàdesfinspersonnelles;pasàdesfinscommerciales.толькодлялюдей,которыеиспользуютсядляобучения,исследованийинедолжныиспользоватьсявкоммерческихцелях.以下无正文Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse.NurfürdenpersönlichenfürStudien,Forschung,zukommerziellenZweckenverwendetwerden.Pourl'étudeetlarechercheuniquementàdesfinspersonnelles;pasàdesfinscommerciales.толькодлялюдей,которыеиспользуютсядляобучения,исследованийинедолжныиспользоватьсявкоммерческихцелях.以下无正文