双曲线知识点及题型总结精华 双曲线重点知识归纳

        双曲线知识点1双曲线定义：①到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F1F2|）的点的轨迹（（为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．要注意两点：

        （1）距离之差的绝对值.

        （2）2a＜|F1F2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同.当|MF1|－|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支；当|MF1|－|MF2|=－2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支；当2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以F

        1、F2为端点向外的两条射线；当2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在.②动点到一定点F的距离与它到一条定直线l的距离之比是常数e(e＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l叫做双曲线的准线2.双曲线的标准方程：和（a＞0，b＞0）.这里，其中||=2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.3.双曲线的标准方程判别方法是：如果项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴正确判断焦点的位置；⑵设出标准方程后，运用待定系数法求解.5.曲线的简单几何性质－=1（a＞0，b＞0）⑴范围：|x|≥a，y∈R⑵对称性：关于x、y轴均对称，关于原点中心对称⑶顶点：轴端点A1（－a，0），A2（a，0）⑷渐近线：①若双曲线方程为渐近线方程②若渐近线方程为双曲线可设为③若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）④特别地当离心率两渐近线互相垂直，分别为y=，此时双曲线为等轴双曲线，可设为；y=x，y=－x⑸准线：l1：x=－，l2：x=，两准线之距为⑹焦半径：，（点P在双曲线的右支上）；，（点P在双曲线的右支上）；当焦点在y轴上时，标准方程及相应性质（略）⑺与双曲线共渐近线的双曲线系方程是⑻与双曲线共焦点的双曲线系方程是6曲线的内外部

        (1)点在双曲线的内部.

        (2)点在双曲线的外部.7曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为渐近线方程：.

        (2)若渐近线方程为双曲线可设为.

        (3)若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）.8双曲线的切线方程

        (1)双曲线上一点处的切线方程是.

        （2）过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是.

        （3）双曲线与直线相切的条件是.9线与椭圆相交的弦长公式若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB，A、B两点分别为A(x1，y1)、B(x2,y2)，则弦长,这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想；高考题型解析题型一：双曲线定义问题1.“ab<0”是“曲线ax2+by2=1为双曲线”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件2.若，则“”是“方程表示双曲线”的()A.充分不必要条件.B.必要不充分条件.C.充要条件.D.既不充分也不必要条件.3.给出问题：F

        1、F2是双曲线－=1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF1|－|PF2||=8，即|9－|PF2||=8，得|PF2|=1或17.该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正确结果填在下面横线上._________.4.过双曲线x2-y2=8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若|PQ|=7，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是.题型二：双曲线的渐近线问题1.双曲线－=1的渐近线方程是()A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x2.过点（2，－2）且与双曲线－y2=1有公共渐近线的双曲线方程是()A.－=1B.－=1C.－=1D.－=1题型三：双曲线的离心率问题1已知双曲线(a＞0,b＞0)的左右焦点分别为F

        1、F2，点P在双曲线的右支上，且∣PF1∣=4∣PF2∣,则此双曲线的离心率e的最大值为（）A．B．C．２D．2.已知是双曲线的左、右焦点,过且垂直于轴的直线与双曲线的左支交于A、B两点,若是正三角形,那么双曲线的离心率为()A.B.C.2D.33.过双曲线M:的左顶点A作斜率为1的直线,若与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是()A.B.C.D.4.在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为，则该双曲线的离心率为()A.B.2C.D.25..已知双曲线(a>0,b<0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是A.(1,2)B.(1,2)C.[2,+∞)D.(2,+∞)题型四：双曲线的距离问题1.设P是双曲线－=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y=0，F

        1、F2分别是双曲线的左、右焦点.若|PF1|=3，则|PF2|等于()A.1或5B.6C.7D.92.已知双曲线的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是A.(,)B.(-,)C.[,]D.[-,]3.已知圆C过双曲线－=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是____________.题型五：轨迹问题1.已知椭圆x2+2y2=8的两焦点分别为F

        1、F2，A为椭圆上任一点。AP是⊿AF1F2的外角平分线，且=0.则点P的轨迹方程是.2.双曲线x2－y2=4的两焦点分别为F

        1、F2，A为双曲线上任一点。AP是∠F1AF2的平分线，且=0.则点P的轨迹是（）A.椭圆的一部分B.双曲线的一部分C.圆的一部分D.抛物线的一部分3求与圆及都外切的动圆圆心的轨迹方程高考例题解析1.已知是双曲线的左、右焦点,P、Q为右支上的两点,直线PQ过,且倾斜角为,则的值为()AB8CD随的大小变化答案:A解析:用双曲线定义列方程可解2.过双曲线的右焦点作直线交曲线于A、B两点,若则这样的直线存在()A0条B1条C2条D3条答案:D解析:x轴时的焦点弦长AB=4最短为通径,故交右半支弦长为4的直线恰有一条;过右焦点交左右两支的符合要求的直线有两条3.直线与曲线的交点个数是()A0个B1个C2个D3个答案:D解析:(0,5)点为完整双曲线和椭圆的极值点,故y=5为其切线,当直线斜率不为0时,直线必与每个曲线交于两点4.P为双曲线上一点,为一个焦点,以为直径的圆与圆的位置关系为()A内切B外切C内切或外切D无公共点或相交答案:C解析:用两圆内切或外切的条件判断5.设是双曲线的两个焦点,点P在双曲线上且满足,则的面积为()A1BC2D答案:A解析:勾股定理,双曲线定义联立方程组h或面积公式6.设是双曲线的左、右焦点,P在双曲线上,当的面积为1时,的值为()A0B1CD2答案:A解析:不妨设由,,,7.过点A（0，2）可以作___条直线与双曲线x2－＝1有且只有一个公共点答案：4解析：数形结合，两切线、两交线过点P(4,4)且与双曲线－＝1只有一个交点的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：如图所示，满足条件的直线共有3条．答案：C8.已知A（3，2），M是双曲线H：上的动点，F2是H的右焦点，求的最小值及此时M的坐标。

        解：由，则此时M的坐标（）9.已知双曲线C：，一条长为8的弦AB两端在C上运动，AB中点为M，则距轴最近的M点的坐标为。解：又，则当且仅当时，取“=”，由逆径，故可取“=”又由即故M（）10.P为双曲线x2－＝1右支上一点，M、N分别是圆(x＋4)2＋y2＝4和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为________．解析：双曲线的两个焦点为F1(－4,0)、F2(4,0)，为两个圆的圆心，半径分别为r1＝2，r2＝1，|PM|max＝|PF1|＋2，|PN|min＝|PF2|－1，故|PM|－|PN|的最大值为(|PF1|＋2)－(|PF2|－1)＝|PF1|－|PF2|＋3＝5.答案：5.直线：与双曲线C：的右支交于不同的两点A、B。（Ⅰ）求实数的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出的值。

        若不存在，说明理由。解：（Ⅰ）将直线……①依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为、，则由①式得……②假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c,0）.则由FA⊥FB得：整理得……③把②式及代入③式化简得解得可知使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点.（四川卷）9.已知两定点满足条件的点P的轨迹是曲线E，直线ｙ＝kx－1与曲线E交于A、B两点。（Ⅰ）求ｋ的取值范围；（Ⅱ）如果且曲线E上存在点C，使求。

        本小题主要考察双曲线的定义和性质、直线与双曲线的关系、点到直线的距离等知识及解析几何的基本思想、方法和综合解决问题的能力。满分14分。解：（Ⅰ）由双曲线的定义可知，曲线是以为焦点的双曲线的左支，且，易知故曲线的方程为设，由题意建立方程组消去，得又已知直线与双曲线左支交于两点，有解得∵依题意得整理后得∴或但∴故直线的方程为设，由已知，得∴，又，∴点将点的坐标代入曲线的方程，得得，但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意∴，点的坐标为到的距离为∴的面积练习题1.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(，0)，直线y=x－1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为﹣，则此双曲线的方程是（）A．=1B．=1C．=1D．=12.双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F

        1、F2，∠F1MF2=120°，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.

        3、已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，△OAF的面积为（O为原点），则两条渐近线的夹角为（）A．30ºB．45ºC．60ºD．90º

        4、已知双曲线的两个焦点为，，P是此双曲线上的一点，且，，则该双曲线的方程是A．B．C．D．

        5、已知F

        1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．6.直线y＝x＋3与曲线=1的交点的个数是（）（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个7.若双曲线x2－y2=1右支上一点P(a,b)到直线y=x的距离是，则a＋b的值为（）。

        （A）－（B）（C）－或（D）2或－28.已知点F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A．(1，＋∞)B．(1,2)C．(1,1＋)D．(2,1＋)9.设P为双曲线－y2＝1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是．10.求与圆A：（x+5）2+y2=49和圆B：（x－5）2+y2=1都外切的圆的圆心P的轨迹方程为________________11.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为

        （1）求双曲线C的方程；

        （2）若直线与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且（其中O为原点）.求k的取值范围.12.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)．

        (1)求双曲线C的方程；

        (2)若直线：y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与双曲线C交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过点A(0，－1)，求实数m的取值范围．