初中数学知识点总结(全) 初中数学知识点总结沪教版

        初中数学公式定理代数部分12自然数的运算1加法:求和的运算叫做加法2减法:减法是加法的逆运算3乘法:同一个自然数的连加运算,就叫做乘法4除法:除法是乘法的逆运算,零不能做除数13自然数的运算性质用字母表示任一个自然数,来说明对于任何自然数的运算普遍成立的运算规律和运算特征即它们的共同性质,并简称为运算通性或运算律1加法交换律:a+b=b+a2加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)3乘法交换律:a·b=b·a4乘法对加法的分配律:(a+b)·c=a·c+b·c5乘法结合律:(a·b)·c=a·(b·c)6自然数0和1的运算特征14乘法运算及指数运算律求同一个数得连乘运算,叫做乘方运算a^n(an)中,a叫做底数,自然数n叫做指数,乘方的结果a^n叫做幂(读作“a的n次幂”或“a的n次方”)零的n次方总等于零,1的n次方总等于1同底数幂相乘,底数不变,只是指数相加指数运算律

        (一)同底数幂相乘,指数相加,底数不变,即a^m·a^n=a^(m+n),指数运算律

        (二)乘积的幂,等于各因数的幂的乘积,即(a·b)^n=a^n·b^n指数运算律

        (三)幂的乘方,指数相乘,底数不变,即(a^m)^n=a^(mn)指数运算律

        (四)同底数幂相除,指数相减,底数不变,即am/an=am-n其中m>n,a≠0两个同底数(不为0)、同指数的幂相除,其商等于a0=1，(a≠0)分数的意义与特点a/b·b=(a·1/b)·b=(b·1/b)·a=1·a=aa/b=am/bm，(m≠0)a/b=(a/b)/(b/n)，(n≠0)分数有一个重要的基本性质：一个分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为零的数,分数的值不变22分数的运算及运算律加、减法a/b(+,-)c/d=ad/bd(+,-)bc/bd=(ad(+,-)bc)/bd乘法a/b·c/d=ac/bd除法(a/b)/(c/d)=(a/b)·(d/c)=ad/bc乘方(a/b)^m=(a/b)·(a/b)…(a/b){m个括号}=(a^m)/(b^m)分数加法的交换律是a/b+c/d=c/d+a/b3有理数的意义31相反意义的量在研究两者的总效果时,可以互相抵消或一部分抵消32正数和负数、相反数带有正号的数叫做正数(“+”号也可省略不写);带有负号的数叫做负数负数与正数合并时,其结果可以相消或部分抵消数零,既不是正数,也不是负数对任一个数a,总能有一个数-a,使它们可以相消,像这样只是符号不同的两个数,叫做互为相反数零的相反数,仍是零33有理数、数轴整数包括正整数、负数和零分数包括正分数、负分数整数和分数,统称为有理数全体有理数组成的集合,称为有理数集合全体整数组成的集合,称为整数集合全体自然数组成自然数集合有理数可以用一条直线上的点来表示规定了原点、正方向和单位程度的直线叫做数轴对于任一个有理数,在数轴上都可以有一个确定的点表示它正数和负数,可表示“相反意义”的量,而数零是它们的界限互为相反数的一对数,在数轴上总是表示到原点距离相等的一对点零与它们的相反数都用原点表示34绝对值一个有理数在数轴上所对应的点至原点的距离叫做绝对值一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;零的绝对值是零4有理数的运算41有理数的加法与减法加法

        （1）符号相同的两个有理数相加,只要将两数的绝对值相加,符号仍取原来的符号

        （2）两个符号相反的有理数相加,将较大的绝对值减去较小的绝对值,符号取绝对值较大的加数的符号减法减法是加法的逆运算减法法则是减去一个数,等于加上这个有理数的相反数在有理数范围内,减法运算也是畅通无阻的42代数和含有加减运算的式子,都能转化成井含有加法运算的式子,我们称它为“代数和”去括号法则：去掉紧接正号后面的括号时,括号里的各项都不变;去掉紧接负号后面的括号时,括号里的各项都要变号添括号法则：紧接正号后面添加括号时,括号到括号里的各项都不变;紧接符号后面添加括号时,括到括号里的各项都要变号43有理数的乘法与除法乘法异号(一负一正)两有理数相乘,将绝对值相乘,符号取负两个负有理数相乘,将绝对值相乘,符号取正乘法法则：将绝对值相乘,积的符号是：同号得正,异号得负当负乘数有奇数个时,成积为负;当负乘数有偶数个时,成积为正;只要有一个乘数为零,那么乘积必定是零除法除法法则：将绝对值相除,商的符号是：同号相除得正,异号相除得负零除以任一个非零有理数,其商仍为零零不能作除数任一个非零有理数x,除1所得的商1/x,叫做这个数x的倒数非零有理数x与1/x互为倒数,其特征性质是x·1/x=1零没有倒数除以一个非零有理数,就等于乘以这个数的倒数a/b=a·1/b=a/b44有理数的乘方非零有理数的乘方,将其绝对值乘方,而结果的符号是：正数的任何次乘方都取正号;负数的奇数乘方取负号,负号的偶次乘方取正号零的非零次都0;零的零次方没有意义45有理数的混合运算先乘方,再乘除,后加减;若有括号,则“先里后外”去括号,逐步计算46近似数和有效数字与实际相符的数,叫做准确数与实际接近的数,叫近似数一个近似数四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位。从左边之下,在自然数范围内,除法(除数不为0)、减法都不封闭;在整数范围内,除法(除数不为0)也不封闭2加法、乘法运算满足交换律、结合律和分配律与自然数计算法则完全相同3加、减法运算,乘、除运算的统一

        (1)加、减运算的统一任意一个有理数a,总有它唯一的一个相反数-a,使得(-a)+a=a+(-a)=0因而,有理数减法,就可以转化为加法,即a-b=a+(-b)

        (2)乘、除运算的统一任意一非零有理数b,总有它唯一的一个倒数1/b,使得b·1/b=1/b·b=1因而,有理数除法,就可以转化为乘法,即a/b=a·1/b(b≠0)4数0与1的特性对于任意有理数a来说,a+0=0+a=a;a·0=0·a=0;a·1=1·a=a5乘方运算满足指数运算律52有理数的大小顺序负数<零<正数

        （1）a-b>0,a>b;

        （2）a-b=0,a=b;

        （3）a-b<0,a<b负数小于0,0小于正数,负数小于正数;两个整数比较时,绝对值大的数较大;两个负数比较时,绝对值大的数反而较小负数按绝对值由大到小排列,正数按绝对值由小到大排列在数轴上,右边的点所表示的有理数总是大于左边的点所表示的有理数53等式与不等式的基本性质1等式用等号“=”联结两个算式的式子,叫做等式无需任何条件,本来就是真实的等式,叫做恒等式在某些条件下,才能成为真实的等式,叫做条件等式根本不能成立的等式,叫矛盾等式等式有以下基本性质：1)等式的两边可以对调2)等式的关系可以传递3)等式的两边,可以加上(或减去)同一个数4)等式的两边,可以乘以(或除以非零的)同一个数2不等式用不等号“>”或“<”表示的关系式,叫做不等式1)如果A>B,那么B<A2)如果A>B,B>C,那么A<C3)如果A>B,那么A(+,-)m>B(+,-)m4)如果A>B,且m>0,那么Am>Bm5)如果A>B,且m<0,那么Am<Bm含有未知数的等式,叫做方程在一个方程中,所含未知数,又成为元;被“+”、“-”号隔开的每一部分称为一项在一项中,数字或表示已知数的字母因数叫做未知数的系数某一项所含有的未知数的指数和,成为这一项的次数不含未知数的项,成为常数项当常数不为零时,它的次数是0,因此常数项也称为零次项13方程的解与解方程的根据未知数应取的值是指：把所列方程中的未知数换成这个值以后,就使方程变成一个恒等式能是方程左右两边的值相等的未知数的值,叫做方程的解,也叫做根求方程解的过程,叫做解方程解方程的根据是“运算通性”及“等式性质”可以“由表及里”地去掉括号,并将“含有相同未知数且含未知数的次数也相同”的各项结合起来,合并在一起——这叫做合并同类项把方程一边的任一项改变符号后,移到方程的另一边,叫做移项简单说就是“移项变号”把方程两边各同除以未知数的系数(或同乘以系数的倒数),就得到未知数应取的值综上所述,得到解方程的方法、步骤：去括号、移项变号、合并同类项,使方程化为最简形式ax=b(a≠0)、除以未知数的系数,得出x=b/a(a≠0)2一元一次方程只含有一个未知数并且次数是1的方程,叫做一元一次方程一般形式:ax+b=0(a≠0,a、b是常数)22一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤是：1去分母(或化为整系数);2去括号;3移项变号;4合并同类项,化为ax=-b(a≠0)的形式;5方程两边同除以未知数的系数,得出方程的解x=-b/a3一次方程组31二元一次方程含有两个未知数的一次方程叫做二元一次方程能够使二元一次方程两边的值相等的未知数x、y的一组值,叫做这个二元一次方程的一个解任何一个二元一次方程都有无限多个解,正因为如此,二元一次方程也被称为不定方程32方程组与方程组的解把几个方程联合在一起,组成一个整体,叫做联立方程,也叫方程组由几个一次方程组并含有两个未知数的方程组,成为二元一次方程组能够同时满足方程组中每一个方程的未知数的数组组,叫做方程组的解33二元一次方程组的解法求方程组的解的过程,叫做解方程组设把二元方程转化为一元方程求解,称为消元法叫做加减消元法,简称加减法原方程组是矛盾方程组,无解34三元一次方程组及其解法含有三个未知数的三元一次方程组4解应用问题5一元一次不等式(组)51一元一次方程式在含有未知数的不等式中,如果只含有一个未知数、分母不含未知数,并且未知数的次数是一次,那么这样的不等式,叫做一元一次不等式能够使不等式成立的未知数的值,称为这个不等式的解,所有这样的解的集合,简称为这个不等式的解集求不等式的解集的过程,叫做解不等式52一元一次不等式的解法53一元一次不等式组由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组,叫做一元一次不等式不等式组中每个不等式的解的公共部分,叫做这个不等式组的解集54一元一次不等式组的解法解一元一次不等式组的一般步骤是：1)先求出不等式组里各个不等式的解集;2)在求出这些不等式的解集的公共部分,就得到这个不等式组的解集11面积与平方

        (1)任意两个正数的和的平方,等于这两个数的平方和

        (2)任意两个正数的差的平方,等于这两个数的平方和,再减去这两个数乘积的2倍任意两个有理数的和(或差)的平方,等于这两个数的平方和,再加上(或减去)这两个数乘积的2倍12平方根1正数有两个平方根,这两个平方根互为相反数;2零只有一个平方根,它就是零本身;3负数没有平方根14实数无限不循环小数叫做无理数有理数和无理数统称为实数2平方根的运算21算术平方根的性质性质1一个非负数的算术平方根的平方等于这个数本身性质2一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值22算术平方根的乘、除运算1算术平方根的乘法√(a)·√(b)=√(ab)(a>=0,b>=0)2算术平方根的除法√(a)/√(b)=√(a/b)(a>=0,b>0)通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去火把根号中的分母化去,叫做分母有理化

        (1)被开方数的每个因数的指数都小于2;

        (2)被开方数不含有字母我们把符合这两个条件的平方根叫做最简平方根23算术平方根的加、减运算如果几个平方根化成最简平方根以后,被开方数相同,那么这几个平方根就叫做同类平方根3一元二次方程及其解法31一般的一元二次方程的解法——配方法用配方法解一元二次方程的一般步骤是：1化二次项系数为1将方程化为x2+px+q=0的形式2移项把常数项移至方程右边,将方程化为x2+px=-q的形式3配方方程两边同时加上“一次项系数一半的平方”,是方程左边成为含有未知数的完全平方形式,右边是一个常数4有平方根的定义,可知

        (1)当p2/4-q>0时,原方程有两个实数根;

        (2)当p2/4-q=0,原方程有两个相等的实数根(二重根);

        (3)当p2/4-q<0,原方程无实根32一元二次方程的求根公式一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的求根公式:当b2-4ac>=0时,x1,2=(-b(+,-)√(b^2-4ac))/2a33一元二次方程根的判别式方程ax^2+bx+c=0(a≠0)当△=b2-4ac>0时,有两个不相等的实数根;当△=b2-4ac=0时,有两个相等的实数根;当△=b2-4ac<0时,没有实数根34一元二次方程的根与系数的关系以两个数x1,x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2-(x1+x2)x+x1·x2=0如果在几个单项式中,不管它们的系数是不是相同,只要他们所含的字母相同,并且相同字母的指数也分别相同,那么,这几个单项式就叫做同类单项式,简称同类项所有的常数都是同类项12多项式有有限个单项式的代数和组成的式子,叫做多项式多项式里每个单项式叫做多项式的项,不含字母的项,叫做常数项单项式可以看作是多项式的特例把同类单项式的系数相加或相减,而单项式中的字母的乘方指数不变在多项式中,所含的不同未知数的个数,称做这个多项式的元数经过合并同类项后,多项式所含单项式的个数,称为这个多项式的项数所含个单项式中最高次项的次数,就称为这个多项式的次数13多项式的值任何一个多项式,就是一个用加、减、乘、乘方运算把已知数和未知数连接起来的式子14多项式的恒等对于两个一元多项式f(x)、g(x)来说,当未知数x同取任一个数值a时,如果它们所得的值都是相等的,即f(a)=g(a),那么,这两个多项式就称为是恒等的记为f(x)==g(x),或简记为f(x)=g(x)性质1如果f(x)==g(x),那么,对于任一个数值a,都有f(a)=g(a)性质2如果f(x)==g(x),那么,这两个多项式的个同类项系数就一定对应相等15一元多项式的根一般地,能够使多项式f(x)的值等于0的未知数x的值,叫做多项式f(x)的根2多项式的加、减法,乘法21多项式的加、减法22多项式的乘法单项式相乘,用它们系数作为积的系数,对于相同的字母因式,则连同它的指数作为积的一个因式3多项式的乘法多项式与多项式相乘,先用一个多项式等每一项乘以另一个多项式的各项,再把所得的积相加23常用乘法公式公式I平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2公式II完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b23单项式的除法两个单项式相除,就是它们的系数、同底数的幂分别相除,而对于那些只在被除式里出现的字母,连同它们的指数一起作为商的因式,对于只在除式里出现的字母,连同它们的指数的相反数一起作为商的因式一个多项式处以一个单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加把一个多项式写成几个质因式乘积形式的变形过程叫做多项式的因式分解1提取公因式法2运用公式法3分组分解法4十字相乘法5配方法6求根公式法13用待定系数法分解因式2余式定理及其应用21余式定理f(x)除以(x-a)的余式是常数f(a)如果f(a)=0,那么f(x)必定含有因式x-a;反过来,如果f(x)含有因式x-a,那么f(a)=0这个结论叫做因式定理22余式定理的应用23因式分解法解一元方程24根与系数的关系如果x1,x2时二次三项式ax+bx+c(a不等于)0的两个根,那么x1+x2=-b/a,x1x2=c/a12分式和分式的基本性质设f,g是一元或多元多项式,g的次数高于零次,则称f,g之比f/g为分式分式的基本性质分数的分子与分母都乘以或除以同一个不等于0的数,分数的值不变13分式的约分和通分分式的约分是将分子与分母的公因式约去,使分式化简如果一个分式的分子与分母没有一次或一次以上的公因式,且各系数没有大于1的公约数,则此分式成为既约分式既约分式也就是最简分式对于分母不相同的几个分式,将每个分式的分子与分母乘以适当的非零多项式,使各分式的分母相同,而各分式的值保持不变,这种运算叫做通分14分式的运算15分式方程方程的两遍都是有理式,这样的方程成为有理方程如果有理方程中含有分式,则称为分式方程2二次根式21根式在实数范围内,如果n个x相乘等于a,n是大于1的整数,则称x为a的n次方根含有数字与变元的加,减,乘,除,乘方,开方运算,并一定含有变元开方运算的算式成为无理式22最简二次根式与同类根式具备下列条件的二次根式称为最简二次根式:

        (1)被开方式的每一个因式的指数都小于开方次数

        (2)根号内不含有分母如果几个二次根式化成最简根式以后,被开方式相同,那么这几个二次根式叫做同类根式23二次根式的运算24无理方程根号里含有未知数的方程叫做无理方程我们把数轴上任意一点所对应的实数称为点的坐标对于每一个坐标(实数),在数周上可以找到唯一的点与之对应这就是直线的坐标化数轴上任意一条有向线段的数量等于它的终点坐标与起点坐标的差任意一条有向线段的长度等于它两个断电坐标差的绝对值2平面直角坐标系21平面的直角坐标化在平面内任取一点o为作为原点(基准点),过o引两条互相垂直的,以o为公共原点的数轴,一般地,两个数轴选取相同的单位长度这样就构成了一个平面直角坐标系x轴叫横轴,y轴叫纵轴,它们都叫直角坐标系的坐标轴;公共原点o称为直角坐标系的原点;我们把建立了直角坐标系的平面叫直角坐标平面简称坐标平面两坐标轴把坐标平面分成四个部分,它们叫做四个象限22两点间的距离23中点公式3函数31常量,变量和函数在某一过程中可以去不同数值的量,叫做变量在整个过程中保持统一数值的量或数,叫做常量或常数一般地,设在变活过程中有两个互相关联的变量x,y,如果对于x在某一范围内的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与之对应,那么就称y是x的函数,x叫做自变量1.函数的定义域2.对应法则

        (1)解析法就是用等式来表示一个变量是另一个变量的函数,这个等式叫做函数的解析表达式(函数关系式)

        (2)列表法

        (3)图像法3函数的值域一般的,当函数f(x)的自变量x去定义域D中的一个确定的值a,函数有唯一确定的对应值这个对应值,称为x=a时的函数值,简称函数值,记作:f(a)32函数的图像若把自变量x的一个值和函数y的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标,可以在直角坐标平面上描出一个点(x,f(x))的集合构成一个图形F,而集F成为函数y=f(x)的图像知道函数的解析式,要画函数的图像,一般分为列表,描点,连线三个步骤4正比例函数41正比例函数一般地,函数y=kx(k是不等于零的常数)叫做正比例函数,其中常数k叫做变量y与x之间的比例函数确定了比例函数k,就可以确定一个正比例函数正比例函数y=kx有下列性质:

        (3)当k>0时,它的图像经过反比例函数y=k/x有下列性质:

        (7)当k>0时,他的图像的两个分支分别位于直线y=kx+b与y轴交点(0,b),b叫做直线y=kx+b在y轴上的纵截距,简称截距52一次函数的性质函数y=f(小),在a〈x〈b上,如果函数值随着自变量x的值增加而增加,那么我们说函数f(x)在a〈x<b上市递增函数;如果函数值随着自变量x的值增大而减小,那么我们说函数y=发(x)在a〈x〈b上是递减函数如果分别画出两个二元一次方程所对应的一次函数图像,交点的坐标就是这个方程组的解,这种求二元一次方程组的解法叫图像法3.3一次函数的应用1二次函数及其图像11二次函数我们把函数y=ax²+bx+c(a,b,c为常数,且a不等于0)叫做二次函数12函数y=ax²(a不等于0)的图像和性质用表里各组对应值作为点的坐标,进行描点,然后用光滑的曲线把它们顺次联结起来,就得到函数y=x²的图象这个图象叫做抛物线函数y=x²的图像,以后简称为抛物线y=x²这条抛物线是关于y轴成对称的我们把y轴叫做抛物线y=x²的对称轴对称轴和抛物线的焦点,叫做抛物线的顶点13函数y=ax+bx+c(a不等于0)的图像和性质抛物线y=ax+bx+c的顶点坐标是(-b/2a,（4ac-b2)/4a),对称轴方程是x=-b/2a,当a〉0时,抛物线的开口向上,并且向上无限延伸;当a〈0时,抛物线的开口向下,并且向下无限延伸当a〉0时,二次函数y=ax+bx+c在x〈-b/2a时是递减的,在x〉-b/2a时是递增的;在x=-b/2a处取得y最小=4ac-b2/4a当a〈0时,二次函数y=ax+bx+c在x〈-b/2a时是递减的;在x=-b/2a处取得y最大=4ac-b/4a2根据已知条件求二次函数21根据已知条件确定二次函数22二次函数的最大值或最小值23一元二次方程的图像解法几何部分来的部分就叫线段AB的延长线,同样,也可以作线段BA的延长线1.2直线的基本性质由线段AB向两方无限延伸所形成的图形叫做直线,一条直线上有无限多个点,直线可以用标记它上面任意两个点的大写字母来表示,也可以用一个小写字母表示,如直线AB,直线l过相异两点有一条直线,并且只有一条直线（简称相异两点确定一条直线）两条相交直线确定一个交点1.3线段的长度两点间的距离就是连结这两点的线段的长度平分线段的点叫做线段的中点一条线段只有一个中点2弧和角2.1圆和弧在平面上,固定线段OA的一个端点O,线段OA绕点O旋转一周,另一个端点所经过的封闭的曲线叫做圆,其中,定点O叫做圆心,线段OA叫做半径圆上的任意两点叫做弧2.2方向和角方向与射线：直线上某一点和它一旁的部分叫做射线,这个点叫做射线的端点射线与角：从同一端点出发的两条射线所组成的图形叫做角,这个共同的端点叫做角的顶点,这两条射线分别叫做角的边若射线AB绕点A旋转一周,仍然回到原来的位置,所形成的角称为周角从角的顶点在这个角的内部引一条射线,如果这条射线将这个角分为两个相等的角,那么这条射线叫做角的平分线2.3角的度量当一个角等于平角的一半时,这个角叫做直角大于直角而小于平角的角叫做钝角大于零角而小于直角的角叫锐角两个角的和等于一个直角,则称这两个角互为余角两个角的和等于一个平角,则称这两个角互为补角3相交与平行3.1对顶角、邻角、邻补角一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线时,这两个角叫做对顶角对顶角相等3.2垂线和斜线当两条直线相交成直角时,这两条直线就叫做互相垂直,其中一条叫做另一条的垂线,交点叫做垂足直线l2和l1相交,它们的交角不成直角,这两条直线就叫做互相斜交,其中一条叫做另一条的斜线,交点叫做斜足过直线外一点画这条直线的垂线,这点到垂足间线段的长度叫做这点到这条直线的距离过线段中点作这条线段的垂线,这条垂线叫做这条线段的垂直平分线3.3同位角、内错角、同旁内角分别在两条直线的相同的一侧,并且都在在两条直线的内侧,并且都在两条平行线被不在平面内的一条直线只要与平面内的某一条直线平行,这条直线与这个平面就是平行的4叠合与全等4.1叠合与全等形两个形状相同,大小相等的几何图形叫做全等形两个全等三角形的对应边相等,对应角相等4.2三角形全等的条件三角形具有稳定性判定方法1如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应相等,那么这两个三角形全等判定方法2如果一个三角形的两条边及其夹角分别与另一个三角形的两条边及其夹角对应相等,那么这两个三角形全等判定方法3如果一个三角形的两个角及其夹边分别与另一个三角形的两个角及其夹边对应相等,那么这两个三角形全等5面积及勾股定理51面积平行四边形面积公式S=ah三角形面积公式S=a*h/2梯形面积公式S=(a+b)*h/252勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方维因图：为了形象化地帮助我们理解集合,可以用一个简单的图形来表示它,通常用来表示给定集合的图形是圆形,圆形上的点表示这个集合所含有的元素,这种用来表示集合的图形叫维因图1.2集合之间的关系包含关系：如果集合A的元素都是集合B的元素,那么就称集合A包含于集合B,也可称集合B包含集合A1.3交集、并集交集：对于给定的两个集合A、B,由它们的公共元素所组成的集合叫做A、B的交集并集：对于给定的两个集合A、B,把它们所含元素合并起来所组成的集合,叫做A、B的并集2集合知识简单应用2.1集合及其性特征性质2.2子集与推出关系2.3充分条件与必要条件的一边与另一边的反向延长线组成的角叫做多边形的外角.三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°在原来图形上添画的线叫做辅助线依据三角形内角的特征,对三角形进行分类：三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形；锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形.在直角三角形中,夹直角的两边叫做直角边,直角的对边叫做斜边.推论1直角三角形的两个锐角互余推论2三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和1.2三角形的有关线段三角形一个角的平分线和对边相交,角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线从三角形的一个顶点向其对边或对边的延长线画垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角形的高2全等三角形2.1全等三角形的证明边边边有三边对应相等的两个三角形全等边角边有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等角边角有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等定理有两角及其其中一角的对边对应相等的两个三角形全等2.2直角三角形全等的判定定理斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等3等腰三角形3.1等腰三角形及其性质三角形的三边,有的三边互不相等,有的有两边相等,有的三边都相等.三边都不相等的三角形叫做不等边三角形,有两边相等的三角形叫做等腰三角形,三边都相等的三角形叫做等边三角形.在等腰三角形中,相等的两边都叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角定理等腰三角形的底角相等推论等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边定理有两个角相等的三角形是等腰三角形定理一个三角形是等腰三角形的充要条件是这个三角形有两个内角相等等边三角形定理1等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60等边三角形定理2三个角都相等的三角形是等边三角形等边三角形定理3有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形3.2线段的垂直平分线与角平分线定理线段的垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等定理和一条线段两个端点距离相等的点,都在这条线段的垂直平分线上线段的垂直平分线可以看成是所有和线段两段距离相等的点的集合定理点在角平分线上的充要条件是这一点到这个角两边的距离相等角的平分线可以看作是到角的两边距离相等的所有点的集合3轴对称定义如果点A,B在直线l的两侧,且l是线段AB的垂直平分线,则称点A,B关于直线l互相对称,点A,B互称为关于直线l的对称点,直线l叫做对称轴定义在平面上,如果图形F的所有点关于平面上的直线l成轴对称,直线l叫做对称轴定义在平面上,如果存在一条直线l,图形F的所有点关于直线l的对称点组成的图形,仍是图形F自身,则称图形F为轴对称图形,直线l是它的一条对称轴定理

        （1）对称轴上的任意一点与一对对称点的距离相等

        （2）对称点所连线段被对称轴垂直平分推论两个图形如果关于某直线称轴对称,那么这两个图形是全等形3.4三角形中的不等关系定理三角形的外角大于和它不相邻的任一内角定理三角形任何两边的和大于在一个三角形中,一条边大于另一条边的充要条件是,这条边所对的角大于另一条边所对的角4直角三角形4.1勾股定理逆定理勾股定理逆定理如果三角形的三边长a,b,c满足条件a2+b2=c2,那么c所对的角是直角4.2含30角的直角三角形的性质定理在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半4.3直角三角形斜边上中线的性质定理在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半5基本作图5.1基本作图5.1作三角形5.3轨迹与反证法我们把物体按某种规律运动的路线叫做物体运动的轨迹我们就把一个点在空间按某种规律运动的路线,叫做这个点运动的轨迹,这个点就叫做动点定义具有性质a的所有点构成的集合,叫做具有性质a的点的轨迹轨迹具有纯粹性和完备性基本轨迹1与两个已知点距离相等的点的轨迹是连结这两点的线段的垂直平分线基本轨迹2与已知角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线1.2多边形的内角和多边形的内角和定理n边形的内角和等于(n-2)*180°多边形的外角和定理任意多边形的外角和等于360°2平行四边形2.1平行四边形的定义和性质两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形平行四边形性质定理1平行四边形的对边相等平行四边形性质定理2平行四边形的对角相等定理夹在两条平行线间的平行线段相等同时垂直于两条平行线的直线叫做这两条平行线的公垂线,公垂线夹在平行线间的线段叫做公垂线段,两条平行线间公垂线短的长叫做这两条平行线间的距离推论平行线间的距离处处相等平行四边形性质定理3平行四边形对角线互相平分2.2平行四边形的判定平行四边形判定定理1两组对边分别相等的四边形是平行四边形平行四边形判定定理2两组对角分别向等的四边形是平行四边形平行四边形判定定理3对角线互相评分的四边形是平行四边形平行四边形判定定理4一组对边平行且相等的四边形是平行四边形23特殊的平行四边形一个角是直角的平行四边形叫做矩形矩形性质定理1矩形的四个角都是直角矩形性质定理2矩形的对角线相等矩形的判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形举行的判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形菱形的性质定理1菱形的四条边都相等菱形的性质定理2菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角菱形的判定定理1四边都相等的四边形是菱形菱形的判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形正方形性质定理1正方形的四个角都是直角,四条边都相等正方形性质定理2正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角2.4中心对称定理1成中心对称的两个图形,对称点连线都过对称中心,并且被对称中心平分定理2中心对称的两个图形是全等形定理平行四边形是中心对称形,它的对称中心是两条对角线的交点3梯形3.1梯形我们把一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形梯形中,平行的两边叫做梯形的底,较短的底称为上底,较长的底称为下底,不平行的两边叫做梯形的腰3.2等腰梯形与直角梯形我们把两腰相等的梯形叫做等腰梯形,把有一个角是直角的梯形叫做直角梯形等腰梯形性质定理1等腰梯形在同一底上的两个角相等等腰梯形性质定理2等腰梯形的两条对角线相等等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形3.3四边形的分类3.4平行线等分线段定理平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等推论1经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰推论2经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分3.5三角形的中位线连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线三角形中位线定理：三角形的中位线平行于11比与比例比例的基本性质反比性质、更比性质、合比性质、分比性质、等比性质12成比例线段在同一单位下,两条线段长度的比,叫做这两条线段的比,它们的比是一个正实数如果四条线段a,b,c,d满足等式a/b=c/d,那么,这四条线段叫做成比例线段13黄金分割把一条线段分成两条线段,使其中较长的线段是原先段与较短线段的比例中项,叫做把这条线段黄金分割,把这条线段黄金分割的点,叫做黄金分割点0.618...称为黄金比2相似三角形21相似三角形对应角相等,对应边成比例的三角形,叫做相似三角形22三角形相似的判定判定定理1如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么两三角形相似判定定理2如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么两三角形相似判定定理3如果一个三角形的三边与另一个三角形的三边对应成比例,那么两三角形相似推论1两直角三角形中有一锐角对应相等,那两三角相似推论2平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似23相似三角形的性质定理相思三角形对应高的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比定理相思三角形周长的比等于相似比定理相思三角形面积的比等于相似比的平方广义勾股定理平行四边形两条对角线的平方和等于它的四边的平方和,或等于相邻两边平方和的两倍24平行线分线段成比例定理定理两条或两条以上的平行线,截任意一角的两边,所截出的对应线段成比例推论三条或三条以上的平行线截任意两条直线,所截得的对应线段成比例25相似多边形定义如果两个边数相同的多变形的角对应相等且它们的边对应成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形,相似多边形对应边的比叫做它们的相似比定理两个相似多边形对应对角线的比等于相似比定理两个相似多边形的对应三角形相似,其相似比等于相似多边形的相似比定理相似多边形的周长比等于相似比定理相似多边形的面积比等于相似比的平方13三角函数表和计算器的使用2解直角三角形21解直角三角形射影定理22解直角三角形的应用俯角,仰角,坡度结圆心与圆上任意一点的线段叫做半径同圆的半径都相等连结圆上任意两点的线段叫做这个圆的弦,通过圆心的弦叫做直径圆上任意两点间的部分叫做弧圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆,大于半圆的弧叫做优弧,小于半圆的弧叫做劣弧由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形两个圆全等的充要条件是两个圆的半径相等半径相等的圆叫做等圆,同圆或等圆的半径相等12不共线的三点确定一个圆经过一点可以作无数个圆经过两点也可以作无数个圆,且圆心都在连结这两点的线段的垂直平分线上定理过不共线的三个点,可以作且只可以作一个圆推论三角形的三边垂直平分线相交于一点,这个点就是三角形的外心三角形的三条高线的交点叫三角形的垂心1．3垂径定理圆是中心对称图形；圆心是它的对称中心圆是周对称图形,任一条通过圆心的直线都是它的对称轴定理垂直于弦的直径平分这条弦,并且评分弦所对的两条弧推论1平分弦（不是直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧推论2弦的垂直平分弦经过圆心,并且平分弦所对的两条弧推论3平分弦所对的一条弧的直径,垂直评分弦,并且平分弦所对的另一条弧1.4弧、弦和弦心距定理在同圆或等圆中,相等的弧所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等2圆与直线的位置关系2.1圆与直线的位置关系如果一条直线和一个圆没有公共点,我们就说这条直线和这个圆相离如果一条直线和一个圆只有一个公共点,我们就说这条直线和这个圆相切,这条直线叫做圆的切线,这个公共点叫做它们的切点定理经过圆的半径外端点,并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线定理圆的切线垂直经过切点的半径推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心如果一条直线和一个圆有两个公共点,我们就说,这条直线和这个圆相交,这条直线叫这个圆的割线,这两个公共点叫做它们的交点直线和圆的位置关系只能由相离、相切和相交三种2.2三角形的内切圆如果一个多边形的各边所在的直线,都和一个圆相切,这个多边形叫做圆的外切多边形,这个圆叫做多边形的内切圆定理三角形的三个内角平分线交于一点,这点是三角形的内心三角形一内角评分线和其余两内角的外角评分线交于一点,这一点叫做三角形的旁心.以旁心为圆心可以作一个圆和一边及其他两边的延长线相切,所作的圆叫做三角形的旁切圆2.3切线长定理定理从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角2.4圆的外切四边形定理圆的外切四边形的两组对边的和相等定理如果四边形两组对边的和相等,那么它必有内切圆3圆与圆的位置关系3.1两圆的位置关系在平面内,不重合的两圆.它们的位置关系:外离、外切、相交、内切、外切经过两个圆的圆心的直线,叫做两圆的连心线,两个圆心之间的距离叫做圆心距定理两圆的连心线是两圆的对称轴,并且两圆相切时,它们切点在连心线上

        （1）两圆外离d>R+r

        （2）两圆外切d=R+r

        （3）两圆相交R-r<d<R+r(R>r)

        （4）两圆内切d=R-r(R>r)

        （5）两圆内含d<R-r(R>r)特殊情况,两圆是同心圆d=03.2两圆的公切线定理两圆的两条外公切线的长相等；两圆的两条内公切线的长也相等