椭圆的定义与性质 椭圆的定义演示视频

        椭圆的定义与性质1.椭圆的定义(1）b2=1(a>b>0)＼f（ｙ2,a2)＋＼f(x2，b2）=1(a>b>0）图形性质范围－ａ≤x≤a-ｂ≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a顶点A１(－a,0），Ａ2(a，0)A1(０,-a)，A2（０,a)B1(0,－ｂ),B２(0,ｂ）B1(－b,0)，B2（b,0)焦点F1(-ｃ，0)Ｆ２(c,０)Ｆ1（0，-ｃ)F２(0,c）准线ｌ１:x=－错误!ｌ２：x=错误!ｌ1：y=-错误!ｌ2：y＝错误!轴长轴A1A2的长为2a短轴B1B2的长为２b焦距F１Ｆ2=2c离心率ｅ=错误!，且ｅ∈（０,1)a,b,c的关系c2=a２-b2对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点１．(夯基释疑）判断下列结论的正误.(正确的打“√”，错误的打“×”）（1)动点P到两定点A（－2，0),B(2,０）的距离之和为4，则点P的轨迹是椭圆.()

        (2)椭圆上一点P与两焦点F1,F2构成△PF1F2的周长为２ａ+２c(其中a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距）.()（3)椭圆的离心率ｅ越大，椭圆就越圆．()

        (４)已知点F为平面内的一个定点，直线l为平面内的一条定直线．设ｄ为平面内一动点Ｐ到定直线l的距离，若d=错误!｜ＰF|，则点P的轨迹为椭圆．()[解析]

        (１)错误,|PA|+|ＰB|=|AＢ|＝4，点P的轨迹为线段AB；（2)正确，根据椭圆的［答案］

        (1)×

        （2）√

        (3)×

        (4)√2．(教材习题改编）焦点在x轴上的椭圆＼f(x2,5）+错误!=1的离心率为错误!，则m＝_＿______．[解析]由题设知a2=5,ｂ2=m,c２=５-ｍ，ｅ2＝错误!＝错误!=（错误!)2＝错误!,∴５-ｍ＝2，∴ｍ=３.[答案]3３．椭圆的焦点坐标为(０，－6),(0,6)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为２0，则椭圆的标准方程为__＿__.[解析]椭圆的焦点在ｙ轴上，且c＝６,２a=２0，∴ａ=10,b2=ａ２－c２=６４，故椭圆方程为x264＋y210０＝1.[答案]错误!+错误!＝14.(２０14·无锡质检)椭圆ｘ24＋＼f(y２，3)＝１的左焦点为F，直线x＝ｍ与椭圆相交于点Ａ,Ｂ，当△FＡB的周长最大时,△FＡB的面积是______＿_.[解析]直线ｘ＝m过右焦点（1,0）时，△FAB的周长最大，由椭圆定义知，其周长为４a＝8,此时，|AB｜＝2×b2a＝错误!＝3，∴S△FAB=错误!×2×3＝3.[答案]3５.(201４·江西高考)过点M（１,1)作斜率为－错误!的直线与椭圆C：错误!+错误!=1(a>ｂ>０）相交于A,B两点，若Ｍ是线段AB的中点，则椭圆Ｃ的离心率等于＿_＿_____．[解析]设A(x１，y1),B(x2，y2)，则错误!∴错误!＋错误!＝０,∴y1-y2ｘ１－x2＝-ｂ2a2·＼f(x1＋x2,ｙ１+y2).∵y1-y2x1-ｘ2=－＼f（1,2),x1+x2＝2，ｙ1＋y2＝2，∴-b２ａ2＝-错误!，∴a2＝2b2.又∵b２＝a2－ｃ2，∴a２=2(a2-c2），∴a２=2c2，∴＼f（c，a)=错误!.[答案]错误!考向1椭圆的定义与标准方程【典例１】

        (1)(201４·全国大纲卷改编)已知椭圆C：错误!+错误!＝1（a>b＞０）的左、右焦点为Ｆ

        １、F２，离心率为＼ｆ(3,３)，过F2的直线ｌ交C于A、B两点．若△AF１Ｂ的周长为４＼r

        (3)，则C的方程为___＿____.

        (2)(20１4·苏州质检)椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x=－4，则该椭圆的方程为＿___＿___.[解析]

        (1)由条件知△AF1B的周长＝4a＝4错误!，∴a＝错误!.∵e＝错误!＝错误!,c２＋b2＝a2,∴c=1，b=错误!．∴椭圆C的方程为错误!＋错误!＝１.

        (2)∵椭圆的一条准线为ｘ=-4，∴焦点在x轴上且错误!=4，又2c=4,∴c=2，∴a２=8,b2＝4，∴该椭圆方程为错误!+错误!=１.[答案](1）错误!＋错误!＝1

        (２)错误!+错误!＝１,【规律方法】(1）一般地，解决与到焦点的距离有关问题时，首先应考虑用定义来解决.

        （2）求椭圆的标准方程有两种方法①定义法：根据椭圆的定义，确定ａ２，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a,b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax２＋Bｙ2=1(A>0，B＞0，A≠B).【变式训练1】

        (1)（20１３·广东高考改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(１,0)，离心率等于＼ｆ(1,2)，则C的方程是___＿___＿.(２）(2014·苏州质检)已知椭圆的方程是错误!＋错误!=1(a>5)，它的两个焦点分别为F1,Ｆ2，且｜Ｆ1F2|＝８，弦AB(椭圆上任意两点的线段)过点Ｆ1，则△ＡBＦ２的周长为___＿____．[解析]

        (1)右焦点F(１,０)，则椭圆的焦点在ｘ轴上；c=１.又离心率为ca=＼f(1，2)，故a=2,b２＝a2-c2＝4－1＝３，故椭圆的方程为ｘ24+＼f(y２，3)=1.(2）∵a＞5,∴椭圆的焦点在x轴上，∵|F１F２|＝8,∴c=4,∴a2＝２５＋ｃ2＝41，则a＝＼r

        (41).由椭圆定义,|AF1|+|ＡF2|＝|ＢF2|＋|BＦ1|＝2a,∴△ABF2的周长为4a=441.[答案]

        (１)错误!+错误!＝１(２）4错误!考向2椭圆的几何性质【典例２】(1）（2013·江苏高考)在平面直角坐标系ｘOy中，椭圆Ｃ的标准方程为x2ａ２+ｙ2b2＝1(ａ>b＞０)，右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B．设原点到直线BF的距离为d1，Ｆ到ｌ的距离为d2，若d2＝6d1，则椭圆C的离心率为_____＿__．（2)(2014·扬州质检)已知Ｆ

        1、F2是椭圆C的左、右焦点，点Ｐ在椭圆上，且满足|PＦ１|＝2|ＰF2|，∠PF１Ｆ2＝30°，则椭圆的离心率为___＿＿___．［解析］(１）依题意，d2=错误!-c=错误!.又ＢＦ=错误!=ａ，所以ｄ1=错误!．由已知可得错误!＝＼r

        (6)·＼f(bc,ａ），所以＼ｒ（6)c２＝ab，即6ｃ4=a2（a2－ｃ２），整理可得a2=3c２，所以离心率ｅ=＼f(ｃ，ａ)＝＼f(3,3）.

        (2)在三角形PF1F2中，由正弦定理得sin∠PF２F1=1，即∠PF２F１=错误!，设｜PF2|＝1，则|ＰF1|=２，|F2F１|＝3,∴离心率ｅ=错误!=错误!.[答案］(1）错误!

        (2)错误!,【规律方法】1．椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF１|＋|PF2|=2a，得到a，c的关系．2．椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：（１)求出a，ｃ，代入公式e=错误!；

        (2)只需要根据一个条件得到关于ａ,b，c的齐次式，结合ｂ2＝a2-c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以ａ或a２转化为关于ｅ的方程(不等式)，解方程（不等式)即可得e(e的取值范围)．【变式训练2】（1)(２０13·课标全国卷Ⅱ改编)设椭圆C：错误!+错误!＝1(a>ｂ>0)的左、右焦点分别为F1,Ｆ２,P是C上的点，PF２⊥F1Ｆ2，∠PF1Ｆ２＝30°，则C的离心率为____＿___．

        (2)（２014·徐州一中抽测)已知F

        １、Ｆ２是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点,∠F１PF2=６0°.则椭圆离心率的范围为________.［解析］（1)如图，在Rｔ△PＦ1Ｆ2中,∠ＰF1F2＝3０°,∴｜ＰF1|=2|ＰF2|，且|ＰF２|＝错误!｜F1F2|，又|ＰF1|＋|PF2｜＝2a，∴｜PF２｜=＼f（2,3）a，于是|F1Ｆ２｜＝错误!a，因此离心率e＝错误!＝错误!＝错误!.

        （２）法一：设椭圆方程为错误!+错误!＝1(a＞b>0)，｜PＦ1|＝m,｜PＦ2|=n，则ｍ＋n＝2ａ.在△PF1F２中，由余弦定理可知，4ｃ２=ｍ2＋n2－2ｍncos60°＝（ｍ＋ｎ）2－3mn=4a2－3mn≥4a2－3·错误!２＝4a２－3a2=ａ2(当且仅当ｍ=n时取等号)．∴错误!≥错误!，即e≥错误!.又０<e<1，∴e的取值范围是错误!.法二：如图所示，设Ｏ是椭圆的中心,A是椭圆短轴上的一个顶点，由于∠F１ＰＦ2＝60°，则只需满足60°≤∠Ｆ1AF2即可,又△F1AF2是等腰三角形，且｜ＡＦ1|＝|AF2|，所以0°<∠F１Ｆ2A≤６０°，所以１２≤cos∠F1Ｆ2A＜1，又ｅ＝cｏs∠F1Ｆ2A，所以e的取值范围是错误!．［答案]（1)错误!（2)错误!课堂达标练习

        一、填空题1．在平面直角坐标系xＯy中，椭圆C的中心为原点，焦点F１，F2在x轴上，离心率为错误!.过Ｆ1的直线l交Ｃ于A，B两点，且△ABＦ2的周长为16，那么椭圆C的方程为__＿___＿＿.［解析］设椭圆方程为x2a２+＼f（ｙ2,b２）=1（a>b>0)，由ｅ=错误!知错误!=错误!，故错误!=错误!.由于△ABＦ2的周长为|AB|+|ＢF2|＋｜AF2｜＝(|AF1｜＋｜AF2|)+(|BF１|+｜BF２|)=4a=1６，故a=4.∴b2＝８.∴椭圆Ｃ的方程为错误!＋错误!=１．[答案］错误!＋错误!＝12.(2013·四川高考改编)从椭圆错误!＋错误!=1(ａ>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，Ａ是椭圆与x轴正半轴的交点，Ｂ是椭圆与y轴正半轴的交点，且AＢ∥OＰ(O是坐标原点），则该椭圆的离心率是__＿＿＿＿__.[解析]设P(-ｃ，ｙ0)代入椭圆方程求得ｙ０，从而求得kＯP，由ｋOP＝kAＢ及ｅ＝＼f(c，ａ)可得离心率e．由题意设Ｐ(－c,y０)，将P(-c,ｙ０)代入＼ｆ（x2,ａ2)＋错误!=1，得错误!＋错误!=１，则ｙ错误!=b2错误!＝b2·错误!=错误!.∴y0=错误!或y0=-错误!(舍去),∴P错误!，∴kOP＝－错误!．∵Ａ(a,0），B(0，ｂ),∴kAB＝b－00-ａ＝－错误!.又∵AB∥ＯP，∴ｋAB=kOP，∴-错误!＝-错误!,∴ｂ=ｃ.∴e＝＼f(c,a)=＼f（c,b2＋ｃ２）=错误!＝错误!.[答案]错误!3.(20１4·辽宁高考）已知椭圆C：错误!＋错误!=1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A,B，线段MN的中点在C上，则|ＡN|＋｜ＢN|＝＿__＿＿___.［解析]椭圆错误!＋错误!=1中，a=3.如图，设MN的中点为D，则|ＤF1|+|DＦ２|=２a=６．∵D，Ｆ１,F2分别为MN，AM，BM的中点，∴|BN｜＝2|ＤF2|，｜ＡN｜=2｜DＦ1|,∴|ＡN|+|BN｜=2(|DF1|+｜DＦ2|)＝12．［答案]124．（２01４·南京调研)如图，已知过椭圆错误!＋错误!＝1(a>b＞0）的左顶点A(－a，0)作直线ｌ交y轴于点Ｐ，交椭圆于点Q，若△AOＰ是等腰三角形，且错误!＝2错误!，则椭圆的离心率为______＿_．[解析]∵△AOＰ为等腰三角形,∴OＡ=OＰ，故A(-a,0)，Ｐ(0,a)，又错误!=2错误!,∴Q错误!，由Ｑ在椭圆上得错误!＋错误!=１，解得错误!=错误!.∴e=错误!=错误!＝错误!.[答案]错误!5.(2０14·南京质检)已知焦点在ｘ轴上的椭圆的离心率为错误!，且它的长轴长等于圆Ｃ:x２+y2-2x-1５=0的半径，则椭圆的标准方程是__＿___＿_.[解析]由x2＋y2-2x－15＝0，知r＝４=2a⇒a=2．又e=＼ｆ(c,a)=＼ｆ(１，2)，c=1，则ｂ2=a２－c2=３.因此椭圆的标准方程为＼f（x2,4）＋错误!=1.[答案］错误!＋错误!=1６．(2013·辽宁高考改编)已知椭圆C:x2a２+y2ｂ2＝１(a>b>０)的左焦点为Ｆ，椭圆C与过原点的直线相交于Ａ，B两点，连接AF,BＦ.若|AB｜＝1０，|BＦ|=8，cos∠ABＦ＝＼f(４,5），则椭圆Ｃ的离心率为__＿___＿___.[解析]在△ABF中，由余弦定理得，|AF|2=|ＡB|2+｜BF|2－２|AＢ|·|BF|cｏs∠ABF，∴|ＡＦ|2＝100+64－128=3６，∴|AF|＝６，从而｜AB|2＝|AF|２＋|BF|2，则AF⊥ＢF.∴c=|ＯF|＝12|AB|＝5，利用椭圆的对称性，设F′为右焦点，则|BF′|=|ＡF｜=６,∴2ａ＝｜BＦ|＋|BF′｜=14，a＝7.因此椭圆的离心率e＝错误!=错误!．［答案]错误!7.已知F1，F2是椭圆C:ｘ2a2＋＼ｆ(y2，b２)＝1（a＞b>0）的两个焦点,P为椭圆Ｃ上的一点，且＼ｏ(ＰF１，→）⊥错误!.若△PF1F2的面积为９，则b＝__＿_＿＿_＿．[解析］由定义，｜PF1|+｜ＰF2｜＝２ａ，且错误!⊥错误!,∴|PＦ1｜2＋|ＰF2|2＝|F1F２|２＝４c2，∴(|ＰF1|＋|PＦ2｜)２-２｜PF1|｜PF２｜=4c２，∴2|ＰF１|｜PF2|＝4a2-4c2＝４b２,∴|PF1｜|PF２|＝2b2.∴Ｓ△PF1F2＝＼f（1,2)｜PF1｜|PF2|=1２×2b2＝9，因此b=3.[答案]３8．(２0１3·大纲全国卷改编）已知F１(-1,０)，F2(1，0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于ｘ轴的直线交Ｃ于A，B两点，且|AB｜＝３，则C的方程为___＿＿_＿_.［解析］依题意，设椭圆Ｃ：错误!＋错误!=1(a＞ｂ>0)．过点F２(1,０）且垂直于x轴的直线被曲线C截得弦长｜AB|＝3,∴点Ａ错误!必在椭圆上,∴错误!＋错误!=1.①又由c=1，得１+b2＝a2.②由①②联立，得b2＝3，a2=4.故所求椭圆C的方程为ｘ２4＋＼f（y2,3)=1．[答案］＼f(x2,4)+错误!＝1

        二、解答题９．(2014·镇江质检)已知椭圆C１：错误!+y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．

        (1)求椭圆C2的方程;

        （２）设Ｏ为坐标原点，点Ａ，B分别在椭圆Ｃ1和C2上，错误!=2错误!，求直线ＡB的方程．[解]

        （1）设椭圆C2的方程为错误!＋错误!=１(a>2),其离心率为错误!,故错误!＝错误!，解得a＝4.故椭圆Ｃ2的方程为＼f(y２,１6）＋错误!=1.

        (2)法一:A，B两点的坐标分别记为(xA,ｙA)，(xＢ,ｙB)，由错误!＝2错误!及

        (1)知，O、Ａ、B三点共线且点A、B不在y轴上，因此可设直线AＢ的方程为y=kx.将ｙ=ｋx代入错误!＋y2＝1中，得（１+4ｋ2）ｘ2=4，所以ｘ错误!＝错误!.将y=kx代入＼ｆ（y2,1６)＋错误!＝1中，得（４＋k2)x2＝16，所以x错误!=错误!.又由错误!＝2错误!，得x错误!＝4x错误!，即错误!=错误!,解得k=±1.故直线AB的方程为y＝x或y＝－ｘ.法二:A,Ｂ两点的坐标分别记为（ｘＡ，yA),(xB,ｙB)，由错误!=2错误!及

        (1)知,O、Ａ、Ｂ三点共线且点A、B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx.将y＝kx代入＼f(ｘ2,４）＋y2=1中，得（1+4k2)x2=４，所以ｘ２，A=４１＋4ｋ2.由错误!＝2错误!，得x错误!＝错误!，y错误!=错误!.将x2B,y错误!代入错误!＋错误!=1中，得错误!=１，即４＋k2＝１+4ｋ２，解得k＝±1.故直线AB的方程为y=x或ｙ＝-x.1０.(2０14·安徽高考）设F1,Ｆ2分别是椭圆E：＼ｆ(ｘ2,a2)+错误!=1(ａ>b＞0)的左、右焦点，过点Ｆ1的直线交椭圆E于A,B两点，|AF１｜=3|F１B|．(1）若|AB|=4，△AＢＦ2的周长为１6，求|AF2|;(2）若ｃos∠AF２B＝错误!，求椭圆Ｅ的离心率.[解]

        （1）由｜ＡF１|=3｜F1Ｂ|,｜ＡB|=4，得|ＡF1|＝3,|F１Ｂ|=1.因为△ＡBＦ2的周长为16，所以由椭圆定义可得４a=1６，|AF１|＋|ＡF2|=2ａ=8.故|AＦ2|＝２a－|AF1|=8－3＝5．

        (2)设|F1B|＝k，则k>0且｜ＡF1|=3k,|ＡＢ｜=4ｋ．由椭圆定义可得|AF2|＝２a-3k,|ＢＦ2｜=2a-k.在△ABＦ２中，由余弦定理可得|AＢ｜２=|AF2｜２+｜BF2｜２－2｜ＡＦ2|·|BF２|ｃos∠ＡＦ2Ｂ，即(４ｋ)2＝(2a-3k)2+(２a-ｋ）2－＼f(6,5）(２ａ－３k)·（2a-k)，化简可得(a+k)(a-３ｋ)＝0.而a+k>0，故ａ＝3k.于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|=５k．因此|BF2｜2=|F２Ａ|2＋|AＢ｜２，可得F１A⊥F２A，故△AF1Ｆ2为等腰直角三角形．从而ｃ=＼f（＼r

        (2),2)a，所以椭圆E的离心率e=错误!=错误!.椭圆的定义与性质1．椭圆的定义(1）

        (2)准线l1:x＝-a2cl2:x＝＼f(a2,c)l1：y＝－错误!l２:ｙ=错误!轴长轴Ａ1A2的长为短轴B1B2的长为长轴A1Ａ2的长为短轴B1B2的长为焦距F1F２=离心率e＝＼f(c,a），且e∈a,b,c的关系c２=对称性对称轴：对称中心:1.(夯基释疑)判断下列结论的正误.(正确的打“√”，错误的打“×”)（1)动点Ｐ到两定点Ａ(-2，0)，B(2,0)的距离之和为４，则点P的轨迹是椭圆．（)

        (2)椭圆上一点Ｐ与两焦点Ｆ1，F2构成△ＰＦ1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距)．()

        (３)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．（)

        (4)已知点F为平面内的一个定点，直线ｌ为平面内的一条定直线.设d为平面内一动点P到定直线l的距离，若d＝错误!|PＦ｜，则点P的轨迹为椭圆．（)2.(教材习题改编)焦点在x轴上的椭圆错误!+错误!＝1的离心率为错误!，则m＝_＿______.3.椭圆的焦点坐标为(0,-6),（０，６)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为20，则椭圆的标准方程为_____.4．（201４·无锡质检)椭圆错误!+错误!=1的左焦点为F，直线ｘ=m与椭圆相交于点A，Ｂ，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是_＿___＿_＿．5.(2０１4·江西高考）过点M(1,１)作斜率为－１２的直线与椭圆C：错误!+错误!＝1(a>b>0)相交于A,Ｂ两点，若Ｍ是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于____＿___.考向1椭圆的定义与标准方程【典例１】(1）(2014·全国大纲卷改编)已知椭圆C：＼f(ｘ2，a２)＋错误!＝1(a>ｂ>0）的左、右焦点为F

        1、F２，离心率为错误!，过F2的直线l交C于Ａ、B两点．若△ＡF１Ｂ的周长为4错误!，则Ｃ的方程为______＿_.

        (２)（2014·苏州质检)椭圆的中心在原点，焦距为４，一条准线为x=-4，则该椭圆的方程为_＿__＿__＿.【规律方法】

        （1）一般地，解决与到焦点的距离有关问题时，首先应考虑用定义来解决．

        (2)求椭圆的标准方程有两种方法①定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出ａ，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax２+Ｂｙ2＝1(Ａ>0，B>０,A≠Ｂ)．【变式训练1】

        (1)（２013·广东高考改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0)，离心率等于＼f(1,2)，则Ｃ的方程是＿_______.

        （2）(2014·苏州质检)已知椭圆的方程是错误!+错误!=1(a>5)，它的两个焦点分别为F1,Ｆ２，且｜F１Ｆ2|＝8，弦AＢ（椭圆上任意两点的线段)过点F1，则△AＢF2的周长为＿_＿____＿.考向２椭圆的几何性质【典例２】

        （１）(2013·江苏高考)在平面直角坐标系xＯｙ中，椭圆Ｃ的标准方程为错误!＋错误!＝１(a>b>0)，右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B.设原点到直线ＢF的距离为ｄ1，F到l的距离为d2，若ｄ2=６d1，则椭圆Ｃ的离心率为＿___＿_＿_．（2)(２014·扬州质检)已知Ｆ

        1、F2是椭圆C的左、右焦点，点P在椭圆上，且满足｜PF１|＝2|PＦ2|，∠PF1F２＝３0°，则椭圆的离心率为________.【规律方法】1.椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|ＰF1|＋|PF2|=2a，得到a,c的关系．2.椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围），常见有两种方法:

        (1)求出a，c，代入公式e＝错误!;

        (2)只需要根据一个条件得到关于a,b，c的齐次式，结合b２＝a２-ｃ2转化为ａ,ｃ的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或ａ２转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e（e的取值范围).【变式训练2】

        （1）（２０13·课标全国卷Ⅱ改编)设椭圆C：x2a2＋错误!=1(ａ＞b>0)的左、右焦点分别为Ｆ1,F2，P是Ｃ上的点,PF2⊥F1Ｆ２，∠ＰＦ1Ｆ２=30°，则C的离心率为＿__＿__＿＿．（2)(2０14·徐州一中抽测)已知F

        1、F2是椭圆的两个焦点，Ｐ为椭圆上一点，∠F１ＰF2=60°.则椭圆离心率的范围为＿_______．课堂达标练习

        一、填空题１.在平面直角坐标系xＯy中，椭圆Ｃ的中心为原点，焦点Ｆ1，F2在ｘ轴上，离心率为＼f(＼ｒ

        (2)，２).过F1的直线ｌ交C于A，B两点，且△ＡBF2的周长为1６，那么椭圆Ｃ的方程为_＿_＿____．2.（２0１3·四川高考改编）从椭圆错误!＋错误!＝1(ａ>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点Ｆ1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且ＡB∥OP(Ｏ是坐标原点)，则该椭圆的离心率是______＿＿．３．(2014·辽宁高考)已知椭圆C：x29＋错误!=１，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在Ｃ上，则|ＡN|＋|BＮ｜=_____＿__.4.(2014·南京调研）如图，已知过椭圆错误!+错误!＝1(a>ｂ>0)的左顶点A（-a,０)作直线ｌ交y轴于点P，交椭圆于点Q，若△ＡOP是等腰三角形，且错误!＝2错误!，则椭圆的离心率为___＿____.5.(2014·南京质检)已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为＼f(1，2），且它的长轴长等于圆C：x2+y2－2x-15=0的半径，则椭圆的标准方程是＿__＿____.６．（2013·辽宁高考改编)已知椭圆Ｃ：错误!+错误!＝１(a>ｂ＞0）的左焦点为Ｆ，椭圆C与过原点的直线相交于A，B两点，连接ＡF,ＢF.若|ＡB|=10,|BF|=8,cos∠ABF＝错误!，则椭圆C的离心率为__＿_______．７.已知F１,Ｆ2是椭圆C：错误!+错误!＝１(a>b>0）的两个焦点，Ｐ为椭圆Ｃ上的一点，且错误!⊥错误!.若△PＦ1Ｆ2的面积为9，则b=_＿______.8.（2013·大纲全国卷改编)已知F1(-1,0)，F2(１,0)是椭圆C的两个焦点，过F２且垂直于ｘ轴的直线交C于Ａ，B两点，且｜AＢ|=3，则C的方程为___＿＿_＿_.

        二、解答题9.（2０14·镇江质检)已知椭圆C１:x24＋y2=1，椭圆Ｃ２以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．

        （１）求椭圆C２的方程;

        (2)设O为坐标原点，点A,Ｂ分别在椭圆C１和C2上，错误!=2错误!，求直线AB的方程．--1０.(２014·安徽高考)设F1，F2分别是椭圆E：错误!＋错误!＝１(ａ>b>0)的左、右焦点，过点F１的直线交椭圆Ｅ于A,B两点，|AＦ1|=3|F1Ｂ|．

        (1)若|ＡB|=4，△ABＦ2的周长为16，求|ＡF2|;(２）若cos∠AＦ2B=错误!，求椭圆E的离心率.--