高考数学椭圆与双曲线的经典性质技巧归纳总结 椭圆以及双曲线

        椭圆的定义、性质及标准方程高三数学备课组刘岩老师1.椭圆的定义：⑴②若常数小于，则动点轨迹不存在。2.椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程中心在原点，焦点在轴上中心在原点，焦点在轴上图形范围顶点对称轴轴、轴；长轴长，短轴长；焦点在长轴上轴、轴；长轴长，短轴长；焦点在长轴上焦点焦距离心率准线参数方程与普通方程的参数方程为的参数方程为3.焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。焦半径公式：椭圆焦点在轴上时，设分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上任一点，则，。

        推导过程：由由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。；若焦点在轴上，则为。有时为了运算方便，设。

        双曲线的定义、方程和性质知识要点：1．定义

        （1）若2a=|F1F2|，轨迹是以F

        1、F2为端点的射线；2a>|F1F2|时无轨迹。②设M是双曲线上任意一点，若M点在双曲线右边一支上，则|MF1|>|MF2|，|MF1|-|MF2|=2a；若M在双曲线的左支上，则|MF1|<|MF2|，|MF1|-|MF2|=-2a，故|MF1|-|MF2|=±2a，这是与椭圆不同的地方。

        （2）3．几个概念

        （1）等轴双曲线：实、虚轴相等的双曲线。

        等轴双曲线的渐近线为y=±x，离心率为。

        （2）共轴双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线叫原双曲线的共轴双曲线，例：的共轴双曲线是。1双曲线及其共轴双曲线有共同的渐近线。

        但有共同的渐近线的两双曲线，不一定是共轴双曲线；②双曲线和它的共轴双曲线的四个焦点在同一个圆周上。抛物线标准方程与几何性质

        一、抛物线定义的理解平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点为抛物线的焦点，定直线为抛物线的准线。注：定义可归结为“一动三定”：一个动点设为；一定点（即焦点）；一定直线（即准线）；一定值1（即动点到定点的距离与它到定直线的距离之比1）定义中的隐含条件：焦点不在准线上。

        若在上，抛物线退化为过且垂直于的一条直线圆锥曲线的统一定义：平面内与一定点和定直线的距离之比为常数的点的轨迹，当时，表示椭圆；当时，表示双曲线；当时，表示抛物线。抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题中常将抛物线上的动点到焦点距离（称焦半径）与动点到准线距离互化，与抛物线的定义联系起来，通过这种转化使问题简单化。

        二、抛物线标准方程1．抛物线标准方程建系特点：以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立直角坐标系，这样使标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用。

        2．四种标准方程的联系与区别：由于选取坐标系时，该坐标轴有四种不同的方向，因此抛物线的标准方程有四种不同的形式。抛物线标准方程的四种形式为：，，其中：参数的几何意义：焦参数是焦点到准线的距离，所以恒为正值；值越大，张口越大；等于焦点到抛物线顶点的距离。标准方程的特点：方程的左边是某变量的平方项，右边是另一变量的一次项，方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向，即对称轴为轴时，方程中的一次项变量就是，若的一次项前符号为正，则开口向右，若的一次项前符号为负，则开口向左；若对称轴为轴时，方程中的一次项变量就是，当的一次项前符号为正，则开口向上，若的一次项前符号为负，则开口向下。

        三、求抛物线标准方程求抛物线方程时，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线标准方程.待定系数法：因抛物线标准方程有四种形式，若能确定抛物线的形式，需一个条件就能解出待定系数，因此要做到“先定位，再定值”。注：当求顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线时，若不知开口方向，可设为或，这样可避免讨论。抛物线轨迹法：若由已知得抛物线是标准形式，可直接设其标准式；若不确定是否是标准式，由已知条件可知曲线的动点的规律，一般用轨迹法求之。

        四、抛物线的简单几何性质方程设抛物线性质焦点范围对称性顶点离心率准线通径关于轴对称原点注：焦点的非零坐标是一次项系数的；对于不同形式的抛物线，位置不同，其性质也有所不同，应弄清它们的异同点，数形结合，掌握方程与有关特征量，有关性质间的对应关系，从整体上认识抛物线及其性质。

        五、直线与抛物线有关问题1．直线与抛物线的位置关系的判断：直线与抛物线方程联立方程组，消去或化得形如（*）的式子：当时，（*）式方程只有一解，即直线与抛物线只有一个交点，此时直线与抛物线不是相切，而是与抛物线对称轴平行或重合；当时，若△＞0（*）式方程有两组不同的实数解直线与抛物线相交；若△=0（*）式方程有两组相同的实数解直线与抛物线相切；若△＜0（*）式方程无实数解直线与抛物线相离.2．直线与抛物线相交的弦长问题弦长公式：设直线交抛物线于，则或.若直线与抛物线相交所得弦为焦点弦时,借助于焦半径公式处理：抛物线上一点的焦半径长是，抛物线上一点的焦半径长是

        六、抛物线焦点弦的几个常用结论设为过抛物线焦点的弦，设，直线的倾斜角为，则①；②；③以为直径的圆与准线相切；④弦两端点与顶点所成三角形的面积；⑤；焦点对、在准线上射影的张角为900；

        七、抛物线有关注意事项1．凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，采用“设而不求”或“点差法”等方法，能避免求交点坐标的复杂运算.同时在解决直线与抛物线相交问题时不能忽视这个条件。2．解决与抛物线的焦半径、焦点弦有关问题时，多从抛物线的定义出发，实现抛物线上任一点到焦点的距离和这点到准线的距离之间的相互转化，并应注意焦点弦的几何性质.椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）高三数学备课组刘岩老师椭圆1.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.2.PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5.若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.6.若在椭圆外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P

        1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.7.椭圆(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为.8.椭圆（a＞b＞0）的焦半径公式：,(,).9.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.10.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A

        1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.11.AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。

        12.若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是.13.若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.双曲线1.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.2.PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）5.若在双曲线（a＞0,b＞0）上，则过的双曲线的切线方程是.6.若在双曲线（a＞0,b＞0）外，则过Po作双曲线的两条切线切点为P

        1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.7.双曲线（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线上任意一点，则双曲线的焦点角形的面积为.8.双曲线（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(,当在右支上时，,.当在左支上时，,9.设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.10.过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q,A

        1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.11.11.AB是双曲线（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。12.若在双曲线（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是.13.若在双曲线（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）高三数学备课组椭圆1.椭圆（a＞b＞o）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交椭圆于P

        1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.2.过椭圆(a＞0,b＞0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.3.若P为椭圆（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1,F2是焦点,,，则.4.设椭圆（a＞b＞0）的两个焦点为F

        1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记,,，则有.5.若椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F

        1、F2，左准线为L，则当0＜e≤时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.6.P为椭圆（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则,当且仅当三点共线时，等号成立.7.椭圆与直线有公共点的充要条件是.8.已知椭圆（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且.

        （1）;

        （2）|OP|2+|OQ|2的最大值为;

        （3）的最小值是.9.过椭圆（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则.10.已知椭圆（a＞b＞0）,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点,则.11.设P点是椭圆（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F

        1、F2为其焦点记，则

        (1).

        (2).12.设A、B是椭圆（a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，,,，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有

        (1).

        (2).

        (3).13.已知椭圆（a＞b＞0）的右准线与x轴相交于点，过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF的中点.14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16.椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）17.椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）高三数学备课组双曲线1.双曲线（a＞0,b＞0）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交双曲线于P

        1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.2.过双曲线（a＞0,b＞o）上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.3.若P为双曲线（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1,F2是焦点,,，则（或）.4.设双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F

        1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记,,，则有.5.若双曲线（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F

        1、F2，左准线为L，则当1＜e≤时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.6.P为双曲线（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则,当且仅当三点共线且和在y轴同侧时，等号成立.7.双曲线（a＞0,b＞0）与直线有公共点的充要条件是.8.已知双曲线（b＞a＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且.

        （1）;

        （2）|OP|2+|OQ|2的最小值为;

        （3）的最小值是.9.过双曲线（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则.10.已知双曲线（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点,则或.11.设P点是双曲线（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F

        1、F2为其焦点记，则

        (1).

        (2).12.设A、B是双曲线（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，,,，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有

        (1).

        (2).

        (3).13.已知双曲线（a＞0,b＞0）的右准线与x轴相交于点，过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF的中点.14.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15.15.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16.双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).17.双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.18.双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.