椭圆的几何性质知识点归纳及典型 椭圆的几何性质知识点归纳及典型例题

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        （一）椭圆的定义：

        1、椭圆的定义：平面内与两个定点、的距离之和等于定长（大于）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点、叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。对椭圆定义的几点说明：

        （1）“在平面内”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）；

        （2）“两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点”，学习时注意区分；

        （3）作为到这两个定点的距离的和的“常数”，必须满足大于|F1F2|这个条件。

        若不然，当这个“常数”等于|F1F2|时，我们得到的是线段F1F2；当这个“常数”小于|F1F2|时，无轨迹。这两种特殊情况，同学们必须注意。

        （4）下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为A1，A2，B1，B2，于是我们易得|A1A2|的值就是那个“常数”，且|B2F2|+|B2F1|、|B1F2|+|B1F1|也等于那个“常数”。

        同学们想一想其中的道理。

        （5）中心在原点、焦点分别在x轴上，y轴上的椭圆标准方程分别为：相同点是：形状相同、大小相同；都有a>b>0，。不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同（几点说明：

        （1）长轴：线段，长为；短轴：线段，长为；焦点在长轴上。

        （2）对于离心率e，因为a>c>0，所以0<e<1，离心率反映了椭圆的扁平程度。由于，所以越趋近于1，越趋近于，椭圆越扁平；越趋近于0，越趋近于，椭圆越圆。

        （3）观察下图，，所以，所以椭圆的离心率e=cos∠OF2B2

        （三）直线与椭圆：直线：（、不同时为0）椭圆：那么如何来判断直线和椭圆的位置关系呢？将两方程联立得方程组，通过方程组的解的个数来判断直线和椭圆交点的情况。

        方法如下：消去得到关于的一元二次方程，化简后形式如下，

        （1）当时，方程组有两组解，故直线与椭圆有两个交点；

        （2）当时，方程组有一解，直线与椭圆有一个公共点（相切）；

        （3）当时，方程组无解，直线和椭圆没有公共点。注：当直线与椭圆有两个公共点时，设其坐标为，那么线段的长度（即弦长）为，设直线的斜率为，可得：，然后我们可通过求出方程的根或用韦达定理求出。典型例题一例1椭圆的一个顶点为，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．解：

        （1）当为长轴端点时，，，椭圆的标准方程为：；

        （2）当为短轴端点时，，，椭圆的标准方程为：；说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．典型例题二例2一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．解：∴，∴．说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求，求，再求比．二是列含和的齐次方程，再化含的方程，解方程即可．典型例题三例3已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与直线交于、两点，为中点，的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．解：由题意，设椭圆方程为，由，得，∴，，，∴，∴为所求．说明：

        （1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；

        （2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．典型例题四例4椭圆上不同三点，，与焦点的距离成等差数列．

        （1）求证；

        （2）若线段的垂直平分线与轴的交点为，求直线的斜率．证明：

        （1）由椭圆方程知，，．由圆锥曲线的统一定义知：，∴．同理．∵，且，∴，即．

        （2）因为线段的中点为，所以它的垂直平分线方程为．又∵点在轴上，设其坐标为，代入上式，得又∵点，都在椭圆上，∴∴．将此式代入①，并利用的结论得∴．典型例题五例5已知椭圆，、为两焦点，问能否在椭圆上找一点，使到左准线的距离是与的等比中项？若存在，则求出点的坐标；若不存在，请说明理由．解：假设存在，设，由已知条件得，，∴，．∵左准线的方程是，∴．又由焦半径公式知：，．∵，∴．整理得．解之得或．①另一方面．②则①与②矛盾，所以满足条件的点不存在．说明：

        （1）利用焦半径公式解常可简化解题过程．

        （2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算．进而根据推理得到的结果，再作判断．

        （3）本例也可设存在，推出矛盾结论（读者自己完成）．典型例题六例6已知椭圆，求过点且被平分的弦所在的直线方程．分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为，利用条件求．解法一：设所求直线的斜率为，则直线方程为．代入椭圆方程，并整理得．由韦达定理得．∵是弦中点，∴．故得．所以所求直线方程为．分析二：设弦两端坐标为、，列关于、、、的方程组，从而求斜率：．解法二：设过的直线与椭圆交于、，则由题意得①－②得．⑤将③、④代入⑤得，即直线的斜率为．所求直线方程为．说明：

        （1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．

        （2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率．

        （3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．典型例题七例7求适合条件的椭圆的标准方程．

        （1）长轴长是短轴长的2倍，且过点；

        （2）在轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6．分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如

        （1）题中由求出，，在得方程后，不能依此写出另一方程．解：

        （1）设椭圆的标准方程为或．由已知．①又过点，因此有或．②由①、②，得，或，．故所求的方程为或．

        （2）设方程为．由已知，，，所以．故所求方程为．说明：根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”．关键在于焦点的位置是否确定，若不能确定，应设方程或．典型例题八例8椭圆的右焦点为，过点，点在椭圆上，当为最小值时，求点的坐标．分析：本题的关键是求出离心率，把转化为到右准线的距离，从而得最小值．一般地，求均可用此法．解：由已知：，．所以，右准线．过作，垂足为，交椭圆于，故．显然的最小值为，即为所求点，因此，且在椭圆上．故．所以．说明：本题关键在于未知式中的“2”的处理．事实上，如图，，即是到右准线的距离的一半，即图中的，问题转化为求椭圆上一点，使到的距离与到右准线距离之和取最小值．典型例题九例9求椭圆上的点到直线的距离的最小值．分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值．解：椭圆的参数方程为设椭圆上的点的坐标为，则点到直线的距离为．当时，．说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程．典型例题十例10设椭圆的中心是坐标原点，长轴在轴上，离心率，已知点到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点的距离等于的点的坐标．分析：本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力，在求的最大值时，要注意讨论的取值范围．此题可以用椭圆的标准方程，也可用椭圆的参数方程，要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题，从而加强等价转换、形数结合的思想，提高逻辑推理能力．解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是，其中待定．由可得，即．设椭圆上的点到点的距离是，则其中．如果，则当时，（从而）有最大值．由题设得，由此得，与矛盾．因此必有成立，于是当时，（从而）有最大值．由题设得，可得，．∴所求椭圆方程是．由及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点，点到点的距离是．解法二：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是，其中，待定，，为参数．由可得，即．设椭圆上的点到点的距离为，则如果，即，则当时，（从而）有最大值．由题设得，由此得，与矛盾，因此必有成立．于是当时（从而）有最大值．由题设知，∴，．∴所求椭圆的参数方程是．由，，可得椭圆上的是，．典型例题十一例11设，，，求的最大值和最小值．分析：本题的关键是利用形数结合，观察方程与椭圆方程的结构一致．设，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得最值．解：由，得可见它表示一个椭圆，其中心在点，焦点在轴上，且过（0，0）点和（3，0）点．设，则它表示一个圆，其圆心为（－1，0）半径为．在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示．观察图形可知，当圆过（0，0）点时，半径最小，即，此时；当圆过（3，0）点时，半径最大，即，∴．∴的最小值为0，最大值为15．典型例题十二例12已知椭圆，、是其长轴的两个端点．

        （1）过一个焦点作垂直于长轴的弦，求证：不论、如何变化，．

        （2）如果椭圆上存在一个点，使，求的离心率的取值范围．分析：本题从已知条件出发，两问都应从和的正切值出发做出估计，因此要从点的坐标、斜率入手．本题的解：

        （1）设，，．于是，．∵是到的角．∴∵∴故∴．

        （2）设，则，．由于对称性，不妨设，于是是到的角．∴∵，∴整理得∵∴∵，∴∵，∴，∴，∴或（舍），∴．典型例题十三例13已知椭圆的离心率，求的值．分析：分两种情况进行讨论．解：当椭圆的焦点在轴上时，，，得．由，得．当椭圆的焦点在轴上时，，，得．由，得，即．∴满足条件的或．说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在轴上，也可能在轴上．故必须进行讨论．典型例题十四例14已知椭圆上一点到右焦点的距离为，求到左准线的距离．分析：利用椭圆的两个定义，或利用由椭圆定义，，得．由椭圆∴到左准线的距离为．说明：运用椭圆的解：设，由与轴正向所成角为，∴，即．而，，由此得到，，∴点坐标为．典型例题十六例16设是离心率为的椭圆上的一点，到左焦点和右焦点的距离分别为和，求证：，．分析：本题考查椭圆的两个定义，利用椭圆说明：本题求证的是椭圆的焦半径公式，在解决与椭圆的焦半径（或焦点弦）的有关问题时，有着广泛的应用．请写出椭圆焦点在轴上的焦半径公式．典型例题十七例17已知椭圆内有一点，、分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点．

        (1)求的最大值、最小值及对应的点坐标；

        (2)求的最小值及对应的点的坐标．分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法．二是数形结合，即几何方法．本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解．解：

        (1)如上图，，，，设是椭圆上任一点，由，，∴，等号仅当时成立，此时、、共线．由，∴，等号仅当时成立，此时、、共线．建立、的直线方程，解方程组得两交点、．综上所述，点与重合时，取最小值，点与重合时，取最大值．

        (2)如下图，设是椭圆上任一点，作垂直椭圆右准线，为垂足，由，，∴．由椭圆∴到右准线距离为．此时点纵坐标与点纵坐标相同为1，代入椭圆得满足条件的点坐标．说明：求的最小值，就是用程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题．解：

        (1)．

        (2)设椭圆内接矩形面积为，由对称性知，矩形的邻边分别平行于轴和轴，设为矩形在例19已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且．

        (1)求椭圆离心率的取值范围；

        (2)求证的面积与椭圆短轴长有关．分析：不失一般性，可以设椭圆方程为（），（）．思路一：根据题设容易想到两条直线的夹角公式，即，设，，，化简可得．又，两方程联立消去得，由，可以确定离心率的取值范围；解出可以求出的面积，但这一过程很繁．思路二：利用焦半径公式，，在中运用余弦定理，求，再利用，可以确定离心率的取值范围，将代入椭圆方程中求，便可求出的面积．思路三：利用正弦定理、余弦定理，结合求解．解：(法1)设椭圆方程为（），，，，，则，．在中，由余弦定理得，解得．

        (1)∵，∴，即．∴．故椭圆离心率的取范围是．

        (2)将代入得，即．∴．即的面积只与椭圆的短轴长有关．(法2)设，，，，则．

        (1)在中，由正弦定理得．∴∵，∴，∴．当且仅当时等号成立．故椭圆离心率的取值范围是．

        (2)在中，由余弦定理得：∵，∴，即．∴．即的面积与椭圆短轴长有关．说明：椭圆上的一点与两个焦点，构成的三角形为椭圆的焦点三角形，涉及有关焦点三角形问题，通常运用三角形的边角关系定理．解题中通过变形，使之出现的结构，这样就可以应用椭圆的定义，从而可得到有关，的关系式，使问题找到解决思路．典型例题二十例20椭圆与轴正向交于点，若这个椭圆上总存在点，使(为坐标原点)，求其离心率的取值范围．分析：∵、为定点，为动点，可以点坐标作为参数，把，转化为点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于、、的一个不等式，转化为关于的不等式．为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程．解：设椭圆的参数方程是，则椭圆上的点，，∵，∴，即，解得或，∵∴（舍去），，又∴，∴，又，∴．说明：若已知椭圆离心率范围，求证在椭圆上总存在点使．如何证明？［例1］求适合下列条件的椭圆的标准方程：

        （1）两个焦点的坐标分别是（－4，0），（4，0），椭圆上一点P到两焦点的距离的和等于10；

        （2）两个焦点的坐标分别是（0，－2），（0，2），并且椭圆经过点（－，）；

        （3）焦点在坐标轴上，且经过点A（，－2）和B（－2，1）分析：根据题意，先判断椭圆的焦点位置，后设椭圆的标准方程，求出椭圆中的a、b即可。

        若判断不出焦点在哪个轴上，可采用标准方程的统一形式。解析：

        （1）因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为＝1（a＞b＞0）∵2a＝10，2c＝8，∴a＝5，c＝4∴b2＝a2－c2＝52－42＝9所以所求的椭圆的标准方程为＝1

        （2）因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为＝1（a＞b＞0）由椭圆的定义知，2a＝又c＝2，∴b2＝a2－c2＝10－4＝6所以所求的椭圆的标准方程为＝1

        （3）解法一：若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为＝1（a＞b＞0）由A（，－2）和B（－2，1）两点在椭圆上可得：解之得若焦点在y轴上，设所求椭圆方程为＝1（a＞b＞0），同上可解得，不合题意，舍去。故所求的椭圆方程为＝1解法二：设所求椭圆方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0且m≠n）。

        由A（，－2）和B（－2，1）两点在椭圆上可得即，解得故所求的椭圆方程为＝1点评：

        （1）求椭圆的标准方程时，首先应明确椭圆的焦点位置，再用待定系数法求a、b。

        （2）迹方程，要建立适当的坐标系．为选择适当的坐标系，常常需要画出草图。如图所示，由△ABC的周长等于16，|BC|＝6可知，点A到B、C两点的距离的和是常数，即|AB|＋|AC|＝16－6＝10，因此，点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，据此可建立坐标系并画出草图。

        解析：如图所示，建立坐标系，使x轴经过点B、Ｃ，原点Ｏ与BC的中点重合。由已知|AB|＋|AC|＋|BC|＝16，|BC|＝6，有|AB|＋|AC|＝10，即点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，且2c＝6，2a＝10，∴c＝3，a＝5，b2＝52－32＝16。由于点A在直线BC上时，即y＝0时，A、B、C三点不能构成三角形，所以点A的轨迹方程是＝1（y≠0）。

        点评：椭圆的定义在解题中有着广泛的应用，另外，求出曲线的方程后，要检查一下方程的曲线上的点是否都符合题意，如果有不符合题意的点，应在方程后注明，常用限制条件来注明。［例3］一动圆与已知圆O1：（x＋3）2＋y2＝1外切，与圆O2：（x－3）2＋y2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程。分析：两圆相切时，圆心之间的距离与两圆的半径有关，可以找到动圆圆心满足的条件。

        解析：两定圆的圆心和半径分别为O1（－3，0），r1＝1；O2（3，0），r2＝9设动圆圆心为M（x，y），半径为R，则由题设条件可得|MO1|＝1＋R，|MO2|＝9－R∴|MO1|＋|MO2|＝10由椭圆的定义知：M在以O

        1、O2为焦点的椭圆上，且a＝5，c＝3。∴b2＝a2－c2＝25－9＝16故动圆圆心的轨迹方程为＝1。点评：正确地利用两圆内切、外切的条件，合理地消去变量R，运用椭圆定义是解决本题的关键，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。

        ［例4］已知P是椭圆＝1上的一点，F

        1、F2是两个焦点，且∠F1PF2＝30°，求△PF1F2的面积。分析：如图所示，已知∠P＝30°，要求△PF1F2的面积，如用|F1F2|·|yP|，因为求P点坐标较繁，所以用S△＝|PF1|·|PF2|·sin30°较好，为此必须先求出|PF1|·|PF2|，从结构形式可看出用余弦定理可得出夹30°角的两边的乘积。解析：由方程＝1，得a＝5，b＝4，∴c＝3，∴|F1F2|＝2c＝6|PF1|＋|PF2|＝2a＝10∵∠F1PF2＝30°在△F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos30°即62＝|PF1|2＋2|PF1|·|PF2|＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|－·|PF1|·|PF2|（2＋）|PF1|·|PF2|＝（|PF1|＋|PF2|）2－36＝100－36＝64，∴|PF1|·|PF2|＝＝64（2－）∴＝|PF1|·|PF2|·sin30°＝·64（2－）·＝16（2－）［例5］椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y＝1相交于P、Q两点，若|PQ|＝2，且PQ的中点C与椭圆中心连线的斜率为，求椭圆方程。

        分析：该题是求椭圆方程，即利用题设中的两个独立条件，求出a、b之值即可解析：由得（a＋b）x2－2bx＋b－1＝0设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1＋x2＝，x1x2＝∴|PQ|＝·＝∴＝a＋b①又PQ的中点C（，1－），即C（，）∴kOC＝②由①②得a＝，b＝∴所求椭圆方程为＝1［例6］中心在原点的椭圆C的一个焦点是F（0，），又这个椭圆被直线l：y＝3x－2截得的弦的中点的横坐标是，求该椭圆方程。分析：本题中涉及到弦的中点及弦所在直线的斜率，故可采用“平方差法”。解析：据题意，此椭圆为焦点在y轴上的标准形式的椭圆，设其方程为＝1（a＞b＞0）设直线l与椭圆C的交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则有：＝1，两式相减得：＝0∴即3＝∴a2＝3b2①又因为椭圆焦点为F（0，）∴c＝则a2－b2＝50②由①②解得：a2＝75，b2＝25∴该椭圆方程为＝1［例7］设P是椭圆（a＞b＞0）上的一点，F

        1、F2是椭圆的焦点，且∠F1PF2=90°，求证：椭圆的离心率e≥证明：∵P是椭圆上的点，F

        1、F2是焦点，由椭圆的定义，得|PF1|+|PF2|=2a①在Rt△F1PF2中，由①2，得∴|PF1|·|PF2|=2（a2－c2）②由①和②，据韦达定理逆定理，知|PF1|·|PF2|是方程z2－3az+2（a2－c2）=0的两根，则△=4a2－8（a2－c2）≥0，∴（）2≥，即e≥1.如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是A.（0，＋∞）B.（0，2）C.（1，＋∞）D.（0，1）2.已知椭圆＝1，F

        1、F2分别为它的两焦点，过F1的焦点弦CD与x轴成α角（0＜α＜π＝，则△F2CD的周长为A.10B.12C.20D.不能确定3.椭圆＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是A.±B.±C.±D.±4.设椭圆＝1的两焦点分别是F1和F2，P为椭圆上一点，并且PF1⊥PF2，则||PF1|－|PF2||等于A.6B.2C.D.5.直线y＝x与椭圆＋y2＝1相交于A、B两点，则|AB|等于A.2B.C.D.6.点P是椭圆＝1上一点，F

        1、F2是其焦点，且∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为___________。

        7.△ABC的两顶点B（－8，0），C（8，0），AC边上的中线BM与AB边上的中线CN的长度之和为30，则顶点A的轨迹方程为___________。8.F

        1、F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则M点的轨迹是___________。9.以两坐标轴为对称轴的椭圆过点P（，－4）和Q（－，3），则此椭圆的方程是___________。

        10.在椭圆＝1内，过点（2，1）且被这点平分的弦所在的直线方程是___________。11.△ABC的两个顶点坐标分别是B（0，6）和C（0，－6），另两边AB、AC的斜率的乘积是－，求顶点A的轨迹方程。12.在面积为1的△PMN中，tanM＝，tanN＝－2，建立适当的坐标系，求出以M、N为焦点并且过点P的椭圆方程。

        [参考答案]1.解析：将方程x2＋ky2＝2化为椭圆的标准方程为＝1，又焦点在y轴上，∴>2，解之得0<k<1。2.解析：由椭圆方程知a＝5，|CF1|＋|CF2|＝2a＝10，|DF1|＋|DF2|＝2a＝10，则△F2CD的周长|F2C|＋|F2D|＋|CD|＝|CF1|＋|CF2|＋|DF1|＋|DF2|＝10＋10＝20。3.解析：由椭圆的标准方程易知c＝3，不妨设F1（－3，0）、F2（3，0），因为线段PF1的中点在y轴上，由中点坐标公式知xP＝3，由椭圆方程＝1解得yp＝±，故M点纵坐标为±。

        4.解析：从方程中可得a＝3，b＝2，c＝5∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，∴（|PF1|＋|PF2|）2＝180即|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝180由已知PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝（2c）2＝100代入上式得2|PF1|·|PF2|＝80∴（|PF1|－|PF2|）2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝20∴||PF1|－|PF2||＝2答案：B5.解析：设A（x1，y1），B（x2，y2）由方程组得＝1∴x＝±y＝±，即A（），B（－，－）由两点间距离公式可得|AB|＝6.解析：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，在△F1PF2中，由余弦定理有m2＋n2－2mncos60°＝|F1F2|2＝122，即m2＋n2－mn＝144①由椭圆定义知m＋n＝20，则m2＋n2＋2mn＝400②由②－①得，3mn＝256，故mn＝因此，7.解析：如图所示，设B、C为B′C′的两个三等分点，则B′（－24，0），C′（24，0），连接AB′，AC′，设A（x，y），BM、CN又分别为△ACB′与△ABC′的中位线。∴|AB′|＝2|BM|，|AC′|＝2|CN|∴|AB′|＋|AC′|＝2（|BM|＋|CN|）＝60由椭圆定义，动点A到两定点B′、C′的距离的和为定长60，所以点A在以B′、C′为焦点，中心在原点的椭圆上运动。∵2a＝60，∴a＝30由|B′C′|＝48，得c＝24∴b2＝a2－c2＝900－576＝324则点A的轨迹方程是＝1（y≠0）8.解析：尽管动点M满足|MF1|＋|MF2|＝2a＝6，但2a＝|F1F2|，∴M点轨迹应为F

        1、F2两点间的线段。

        答案：F

        1、F2两点间的线段9.解析：设此椭圆方程为mx2＋ny2＝1（m>0，n>0，m≠n），把P（，－4），Q（－，3）代入得解得m＝1，n＝，故椭圆方程为x2＋＝1。10.解析：设弦的两端点分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），则有＝1，＝1两式相减得∴即弦所在直线的斜率为－，又弦过（2，1）点，故弦所在直线的方程是x＋2y－4＝011.解：设顶点A的坐标为（x，y），由题意得：∴顶点A的轨迹方程为：＝1（y≠±6）12.解：以直线MN为x轴，以线段MN的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示。设所求椭圆方程为＝1（a>b>0），分别记M、N、P点的坐标为（－c，0）、（c，0）和（x0，y0）∵tanα＝tan（π－∠N）＝2∴由题设知解得即P在△MNP中，|MN|＝2c，MN上的高为，∴S△MNP＝＝1，解得c＝即P（），由此得|PM|＝，|PN|＝∴a＝（|PM|＋|PN|）＝，从而b2＝a2－c2＝3故所求的椭圆方程为＝1。