高中数学优秀教学设计案例 高中数学优秀教学设计案例模板

      高中数学教学设计

      1、集合与函数概念实习作业……………………………………

      2、指数函数的图象及其性质……………………………………

      3、对数的概念…………………………………………………

      4、对数函数及其性质（1）……………………………………

      5、对数函数及其性质（2）……………………………………

      6、函数图象及其应用……………………………………

      7、方程的根与函数的零点……………………………………

8、用二分法求方程的近似解……………………………………

      9、用二分法求方程的近似解……………………………………

      1、集合与函数概念实习作业

      一、教学内容分析

      《普通高中课程标准实验教科书·数学（1）》（人教A版）第44页。-----《实习作业》。本节课程体现数学文化的特色，学生通过了解函数的发展历史进一步感受数学的魅力。学生在自己动手收集、整理资料信息的过程中，对函数的概念有更深刻的理解；感受新的学习方式带给他们的学习数学的乐趣。

      二、学生学习情况分析

      该内容在《普通高中课程标准实验教科书·数学（1）》（人教A版）第44页。学生第一次完成《实习作业》，积极性高，有热情和新鲜感，但缺乏经验，所以需要教师精心设计，做好准备工作，充分体现教师的“导演”角色。特别在分组时注意学生的合理搭配（成绩的好坏、家庭有无电脑、男女生比例、口头表达能力等），选题时，各组之间尽量不要重复，尽量多地选不同的题目，可以让所有的学生在学习共享的过程中受到更多的数学文化的熏陶。

      三、设计思想

      《标准》强调数学文化的重要作用，体现数学的文化的价值。数学教育不仅应该帮助学生学习和掌握数学知识和技能，还应该有助于学生了解数学的价值。让学生逐步了解数学的思想方法、理性精神，体会数学家的创新精神，以及数学文明的深刻内涵。

      四、教学目标

      1．了解函数概念的形成、发展的历史以及在这个过程中起重大作用的历史事件和人物；

      2．体验合作学习的方式，通过合作学习品尝分享获得知识的快乐；

      3．在合作形式的小组学习活动中培养学生的领导意识、社会实践技能和民主价值观。

      五、教学重点和难点

      重点：了解函数在数学中的核心地位，以及在生活里的广泛应用；

      难点：培养学生合作交流的能力以及收集和处理信息的能力。

      六、教学过程设计

      【课堂准备】1．分组：4～6人为一个实习小组，确定一人为组长。教师需要做好协调工作，确保每位学生都参加。

      2．选题：根据个人兴趣初步确定实习作业的题目。教师应该到各组中去了解选题情况，尽量多地选择不同的题目。

      参考题目：（1）函数产生的社会背景；（2）函数概念发展的历史过程；（3）函数符号的故事；（4）数学家（如：开普勒、伽利略、笛卡儿、牛顿、莱布尼兹、贝努利、欧拉、柯西、狄里克雷、罗巴契夫斯基等）与函数；（5）也可自拟题目3．分配任务：根据个人情况和优势，经小组共同商议，由组长确定每人的具体任务。

      4．搜集资料：针对所选题目，通过各种方式（相关书籍----《函数在你身边》、《世界函数通史》、《世界著名科学家传记》等；相关网页---WWW.pep.com.cn、http://www.i3721.com/cz/tbjak/qnj/bsdb8njsxxc/

      200605/43459.html等）搜集素材，包括文字、图片、数据以及音像资料等，并记录相关资料，写出实习报告。

      5．投影仪、多媒体；

      6．把各组的实习报告，贴在班级的学习栏内，让学生学习交流。【教学过程】

      1．出示课题：交流、分享实习报告

      2．交流、分享：（由数学科代表主持。小组推荐中心发言人；以下记录均为发言概述）（1）学生1：函数小史

      数学史表明，重要的数学概念的产生和发展，对数学发展起着不可估量的作用。有些重要的数学概念对数学分支的产生起着奠定性的作用。我们刚学过的函数就是这样的重要概念。在笛卡尔引入变量以后，变量和函数等概念日益渗透到科学技术的各个领域。最早提出函数（function）概念的，是17世纪德国数学家莱布尼茨。最初莱

      布尼茨用“函数”一词表示幂。1755年，瑞士数学家欧拉把给出了不同的函数定义。中文数学书上使用的“函数”一词是转译词。是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》（1895年）一书时，把“function”译成“函数”的。

      我们可以预计到，关于函数的争论、研究、发展、拓广将不会完结，也正是这些影响着数学及其相邻学科的发展。

      （2）教师带头鼓掌并简单评价

      （3）学生2：函数概念的纵向发展：

      该同学从早期函数概念——几何观念下的函数到十八世纪函数概念——代数观念下的函数讲述了函数概念的发展。其中包括18世纪中叶著名的数学家欧拉对函数概念发展的贡献。接着又讲述了十九世纪函数概念——对应关系下的函数。以及现代函数概念——集合论下的函数。函数概念的定义经过三百多年的锤炼、变革，形成了函数的现代定义形式。

      （4）教师带头鼓掌并简单评价

      （5）学生3：我国数学家李国平与函数

      学生3描述了数学家中国科学院数学物理学部委员．李国平（1910—1996），的身世和他的成长历程。李国平1933年毕业于中山大学数学天文系。后历任中国科学院数学计算技术研究所所长，中国科学院武汉数学物理研究所所长，中国数学会理事，中国科学院学部委员等职务。学生还通俗地讲述了李国平先生在微分方程复变函数论领域的卓越贡献。

      （6）教师带头鼓掌并简单评价

      （7）学生4：函数概念对数学发展的影响

      该学生从历史上重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的事实出发，讲述了函数概念对数学发展的深刻影响，可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡，回顾函数概念的历史发展，看一看函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程，是一件十分有益的事情，它不仅有助于我们提高对函数概念来龙去脉认识的清晰度，而且更能帮助我们领悟数学概念对数学发展，数学学习的巨大作用．

      函数概念来源于代数学中不定方程的研究．由于罗马时代的丢番图对不定方程已有相当研究，所以函数概念至少在那时已经萌芽．该学生说道，早在函数概念尚未明确提出以前，数学家已经接触并研究了不少具体的函数，比如对数函数、三角函数、双曲函数等等．1673年前后笛卡儿在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义．从以上函数概念发展的全过程中，我们体会到，联系实际、联系大量数学素材，研究、发掘、拓广数学概念的内涵是何等重要．

      （8）教师带头鼓掌并简单评价（9）学生5：函数概念的历史演变过程

      该学生说，数学的抽象完全舍弃了事物的质的内容，而仅仅保留了它们的量的属性，即数学抽象的目的只是数量关系和空间形式．这就决定了数学与其它自然科学的区别，也决定了数学的特殊性．如果在两个集合元素之间存在有确定的对应关系，就称为是一个映射．

      上述函数概念的历史演变过程，就是一系列弱抽象的过程．学生展示了下表：3．课堂小结：

      4．实习作业的评定：

      七、教学反思

      实习作业是新课程的一个亮点。是培养学生的团队精神，体验合作学习的方式的重要途径。但事实上，实习作业很容易被教师所忽视，所以想通过该教学设计引起教师们的重视。在高一刚开始的时候，如何做好第一次实习作业，是很关键的。就我们学校条件和学生情况，完全可以做好实习作业的，事实证明学生做得很好。可以通过这次实习作业，让学生体验合作学习的方式，通过合作学习品尝分享获得知识的快乐。再者，通过对数学家的了解，感受数学家的精神，增加学好数学的信心，为今后的学习打下好的基础。

      福鼎市第一中学曹齐平

      点评

      该教学设计具有一定的创新性，在教师的引导下，以学生合作学习的模式，探讨函数概念的形成、发展的历史以及在这个过程中起重大作用的历史事件和人物。通过学生的自主学习、探究活动，学生经历收集信息，整理资料，并从中提取有用信息的过程，让学生体验数学知识发现和创造的历程，对于提高学生的数学表达和交流的能力具有一定意义。

      但该设计中教师的主导地位体现得不够，教师对学生的评价不够具体（只有鼓掌）。

      2、指数函数的图象及其性质

      一、教学内容分析

      本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学（1）》（人教A版）第二章第一节第二课（2.1.2）《指数函数及其性质》。根据我所任教的学生的实际情况，我将《指数函数及其性质》划分为两节课（探究图象及其性质，指数函数及其性质的应用），这是第一节课“探究图象及其性质”。指数函数是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究。二、学生学习况情分析

      指数函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，是学生对函数概念及性质的第一次应用。教材在之前的学习中给出了两个实际例子（GDP的增长问题和炭14的衰减问题），已经让学生感受到指数函数的实际背景，但这两个例子背景对于学生来说有些陌生。本节课先设计一个看似简单的问题，通过超出想象的结果来激发学生学习新知的兴趣和欲望。

      三、设计思想

      1.函数及其图象在高中数学中占有很重要的位置。如何突破这个即重要又抽象的内容，其实质就是将抽象的符号语言与直观的图象语言有机的结合起来，通过具有一定思考价值的问题，激发学生的求知欲望――持久的好奇心。我们知道，函数的表示法有三种：列表法、图象法、解析法，以往的函数的学习大多只关注到图象的作用，

      这其实只是借助了图象的直观性，只是从一个角度看函数，是片面的。本节课，力图让学生从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，并通过对比总结得到研究的方法，让学生去体会这种的研究方法，以便能将其迁移到其他函数的研究中去。

      2.结合参加我校组织的两个课题《对话——反思——选择》和《新课程实施中同伴合作和师生互动研究》的研究，在本课的教学中我努力实践以下两点：

      ⑴.在课堂活动中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式。

      ⑵.在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法。

      3.通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法。

      四、教学目标

      根据任教班级学生的实际情况，本节课我确定的教学目标是：理解指数函数的概念，能画出具体指数函数的图象；在理解指数函数概念、性质的基础上，能应用所学知识解决简单的数学问题；在教学过程中通过类比，回顾归纳从图象和解析式这两种不同角度研究函数性质的数学方法，加深对指数函数的认识，让学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要；同时通过本节课的学习，使学生获得研究函数的规律和方法；培养学生主动学习、合作交流的意识。

      五、教学重点与难点

      教学重点：指数函数的概念、图象和性质。

      教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。

      六、教学过程：

      （一）创设情景、提出问题(约3分钟)

      师：如果让1号同学准备2粒米，2号同学准备4粒米，3号同学准备6粒米，4号同学准备8粒米，5号同学准备10粒米，……按这样的规律，51号同学该准备多少米？

      学生回答后教师公布事先估算的数据：51号同学该准备102粒米，大约5克重。

      师：如果改成让1号同学准备2粒米，2号同学准备4粒米，3号同学准备8粒米，4号同学准备16粒米，5号同学准备32粒米，……按这样的规律，51号同学该准备多少米？

      【学情预设：学生可能说很多或能算出具体数目】

      师：大家能否估计一下，51号同学该准备的米有多重？

      教师公布事先估算的数据：51号同学所需准备的大米约重1.2亿吨。

      师：1.2亿吨是一个什么概念？根据2007年9月13日美国农业部发布的最新数据显示，2007～2008年度我国大米产量预计为1.27亿吨。这就是说51号同学所需准备的大米相当于2007～2008年度我国全年的大米产量！

      【设计意图：用一个看似简单的实例，为引出指数函数的概念做准备；同时通过与一次函数的对比让学生感受指数函数的爆炸增长，激发学生学习新知的兴趣和欲望。】

      在以上两个问题中，每位同学所需准备的米粒数用y 表示，每位同学的座号数用x 表示，y 与x 之间的关系分别是什么？

      学生很容易得出y=2x （∈x *N ）和x y 2=（∈x *N ）

      【学情预设：学生可能会漏掉x 的取值范围，教师要引导学生思考具体问题中x 的范围。】

      （二）师生互动、探究新知

      1．指数函数的定义

      师：其实，在本章开头的问题2中，也有一个与x y 2=类似的关系式x y 073.1=（20,≤∈*x N x ）

      ⑴让学生思考讨论以下问题（问题逐个给出）：（约3分钟）

      ①x y 2=（∈x *N ）和x y 073.1=（20,≤∈*x N x ）这两个解析式有什么共同特征？②它们能否构成函数？

      ③是我们学过的哪个函数？如果不是，你能否根据该函数的特征给它起个恰当的名字？

      【设计意图：引导学生从具体问题、实际问题中抽象出数学模型。学生对比已经学过一次函数、反比例函数、二次函数，发现x y 2=，x y 073.1=是一个新的函数模型，再让学生给这个新的函数命名，由此激发学生的学习兴趣。】

      引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量。

      师：如果可以用字母a 代替其中的底数，那么上述两式就可以表示成x a y =的形式。自变量在指数位置，所以我们把它称作指数函数。

      ⑵让学生讨论并给出指数函数的定义。（约6分钟）

      对于底数的分类，可将问题分解为：

      ①若0 a 会有什么问题？（如2-=a ，2

      1=

      x 则在实数范围内相应的函数值不存在）

      ②若

      会有什么问题？（对于0≤x  ，x a 都无意义） ③若 又会怎么样？（无论 取何值，它总是1，对它没有研究的必要.）

      师：为了避免上述各种情况的发生，所以规定

      且 .

      在这里要注意生生之间、师生之间的对话。 【学情预设： ①若学生从教科书中已经看到指数函数的定义，教师可以问，为什么要求10≠a a ，且 ；1=a 为什么不行？

      ②若学生只给出x a y =，教师可以引导学生通过类比一次函数（0,≠+=k b kx y ）、反比例函数（0,≠=k x k y ）、二次函数（0,2≠++=a c bx ax y ）中的限制条件， 思考指数函数中底数的限制条件。】

      【设计意图 ：①对指数函数中底数限制条件的讨论可以引导学生研究一个函数应注意它的实际意义和研究价值；

      ②讨论出10≠a a ，且 ，也为下面研究性质时对底数的分类做准备。】

      接下来教师可以问学生是否明确了指数函数的定义，能否写出一两个指数函数？教师也在黑板上写出一些解析式让学生判断，如x y 32⨯=，x y 23=，x y 2-=。

      【学情预设：学生可能只是关注指数是否是变量，而不考虑其它的。】

      【设计意图 ：加深学生对指数函数定义和呈现形式的理解。】

      2．指数函数性质

      ⑴提出两个问题（约3分钟）

      ①目前研究函数一般可以包括哪些方面；

      【设计意图：让学生在研究指数函数时有明确的目标：函数三个要素（对应法则、定义域、值域、）和函数的基本性质（单调性、奇偶性）。】

      ②研究函数（比如今天的指数函数）可以怎么研究？用什么方法、从什么角度研究？

      可以从图象和解析式这两个不同的角度进行研究；可以从具体的函数入手（即底数取一些数值）；当然也可以用列表法研究函数，只是今天我们所学的函数用列表法不易得出此函数的性质，可见具体问题要选择适当的方法来研究才能事半功倍！还可以借助一些数学思想方法来思考。

      【设计意图：①让学生知道图象法不是研究函数的唯一方法，由此引导学生可以从图象和解析式(包括列表)不同的角度对函数进行研究；

      ②对学生进行数学思想方法（从一般到特殊再到一般、数形结合、分类讨论）的有机渗透。】

      ⑵分组活动，合作学习（约8分钟）

      师：好，下面我们就从图象和解析式这两个不同的角度对指数函数进行研究。 ①让学生分为两大组，一组从解析式的角度入手（不画图）研究指数函数，一组借助电脑通过几何画板的操作从图象的角度入手研究指数函数；

      ②每一大组再分为若干合作小组（建议4人一小组）；

      ③每组都将研究所得到的结论或成果写出来以便交流。

      【学情预设：考虑到各组的水平可能有所不同，教师应巡视，对个别组可做适当的指导。】

      【设计意图：通过自主探索、合作学习不仅让学生充当学习的主人更可加深对所得到结论的理解。】

      ⑶交流、总结（约10～12分钟）

      师：下面我们开一个成果展示会!

      教师在巡视过程中应关注各组的研究情况，此时可选一些有代表性的小组上台展示研究成果，并对比从两个角度入手研究的结果。

      教师可根据上课的实际情况对学生发现、得出的结论进行适当的点评或要求学生分析。这里除了研究定义域、值域、单调性、奇偶性外，再引导学生注意是否还有其它性质？

      师：各组在研究过程中除了定义域、值域、单调性、奇偶性外是否还得到一些有

      价值的副产品呢？（如过定点（0，1），x a y =与x a

      y )1(=的图象关于y 轴对称） 【学情预设： ①首先选一从解析式的角度研究的小组上台汇报；

      ②对于从图象的角度研究的，可先选没对底数进行分类的小组上台汇报；

      ③问其它小组有没不同的看法，上台补充，让学生对底数进行分类，引导学生思考哪个量决定着指数函数的单调性，以什么为分界，教师可以马上通过电脑操作看函数图象的变化。】【设计意图： ①函数的表示法有三种：列表法、图象法、解析法，通过这个活动，让学生知道研究一个具体的函数可以也应该从多个角度入手，从图象角度研究只是能直观的看出函数的一些性质，而具体的性质还是要通过对解析式的论证；特别是定义域、值域更是可以直接从解析式中得到的。

      ②让学生上台汇报研究成果，让学生有种成就感，同时还可训练其对数学问题的分析和表达能力，培养其数学素养；

      ③对指数函数的底数进行分类是本课的一个难点，让学生在讨论中自己解决分类问题使该难点的突破显得自然。】

      师：从图象入手我们很容易看出函数的单调性、奇偶性、以及过定点（0，1），但定义域、值域却不可确定；从解析式（结合列表）可以很容易得出函数的定义域、值域，但对底数的分类却很难想到。教师通过几何画板中改变参数a 的值，追踪x a y =的图象，在变化过程中，让全体学生进一步观察指数函数的变化规律。

      师生共同总结指数函数的图象和性质，教师可以边总结边板书。

      图

      象

      定义域

      R 值 域

      性 质 过定点（0，1）

      非奇非偶

      在R 上是减函数

      在R 上是增函数

      （三）巩固训练、提升总结（约8分钟） 1．例：已知指数函数)1,0()(≠=a a a x f x 且 的图象经过点),3(π，求)3(),1(),0(-f f f 的值。

      解：因为x a x f =)(的图象经过点),3(π，所以π=)3(f

      即π=3a ，解得31π=a ，于是3

      )3(x f π=。

      所以ππ1)3(,)1(,1)0(3=-==f f f 。

      【设计意图：通过本题加深学生对指数函数的理解。】

      师：根据本题，你能说出确定一个指数函数需要什么条件吗？

      师：从方程思想来看，求指数函数就是确定底数，因此只要一个条件，即布列一个方程就可以了。【设计意图：让学生明确底数是确定指数函数的要素，同时向学生渗透方程的思想。】

      2．练习：⑴在同一平面直角坐标系中画出x y 3=和x y )3

      1(=的大致图象，并说出这两个函数的性质；

      ⑵求下列函数的定义域：①22-=x y ，②x y 1

      )21(=。 3．师：通过本节课的学习，你对指数函数有什么认识？你有什么收获？

      【学情预设：学生可能只是把指数函数的性质总结一下，教师要引导学生谈0<a<1 a>1谈对函数研究的学习，即怎么研究一个函数。】

      【设计意图：①让学生再一次复习对函数的研究方法（可以从也应该从多个角度进行），让学生体会本课的研究方法，以便能将其迁移到其他函数的研究中去。

      ②总结本节课中所用到的数学思想方法。

      ③强调各种研究数学的方法之间有区别又有联系，相互作用，才能融会贯通。】

      4．作业：课本59页习题2．1A 组第5题。

      七、教学反思

      1．本节课改变了以往常见的函数研究方法，让学生从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，不仅仅是通过对比总结得到指数函数的性质，更重要的是让学生体会到对函数的研究方法，以便能将其迁移到其他函数的研究中去，教师可以真正做到“授之以渔”而非“授之以鱼”。

      2．教学中借助信息技术可以弥补传统教学在直观感、立体感和动态感方面的不足，可以很容易的化解教学难点、突破教学重点、提高课堂效率，本课使用几何画板可以动态地演示出指数函数的底数的动态过程，让学生直观观察底数对指数函数单调性的影响。

      3．在教学过程中不断向学生渗透数学思想方法，让学生在活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要，部分学生还能自觉得运用这些数学思想方法去分析、思考问题。

      福州十一中  胡鹏程

      点评：

      本节是指数函数及其性质概念课，胡老师在教学设计中，让人印象深刻的是以学生为主体，注重学法指导，重视新旧知识的契合，关注知识的类比，学习方法的迁移。胡老师能够抓住学生的好奇心，将娱乐“计算米粒”与数学有机地结合在一起，提高了学生学习本节知识的兴趣。在观察“准备米粒”得到2n y =和章开头x y 073.1=（20,≤∈*x N x ）函数关系式后，巧妙而不失时机地引导学生从具体问题中抽象出数学模型x y a =，发现指数在变化，这与以前所学函数（一次函数、二次函数、反比例函数）都不一样，把变化的量用x 表示，不变的量用a 表示；通过让学生给函数命名，举几个指数函数例子这个小环节，增强学生对指数函数本质的理解，激发学习兴趣，概念的

      得到可谓“润物细无声”。接着，胡老师在设计中还注重对学生探索能力的培养，让学生类比一次函数（,0y kx b k =+≠）、反比例函数（,0k y k x

      =≠）、二次函数（2,0y ax bx c a =++≠）中的限制条件，给出指数函数的定义及底数a 的取值范围。

      在研究指数函数的性质时，胡老师能够紧扣第一章的函数知识，让学生在研究指数函数时有明确的目标：函数三个要素（对应法则、定义域、值域、）和函数的基本性质（单调性、奇偶性）。通过提问的方法，让学生明白研究函数可以从图象和解析式这两个不同的角度进行出发，将学生的注意力引向本节的第二个知识点——图象及其性质。设计中将学生进行分组，通过学生的自主探究、合作学习，侧重对解析式、作图象探索。学生的上台报告，老师借助几何画板的直观图形，以形助数，以数定形，数形结合的数学方法，收到了较好的研究效果。

      3、对数的概念

      一、教学内容分析

      本节课是新课标高中数学A 版必修①中第二章对数函数内容的第一课时，也就是对数函数的入门。对数函数对于学生来说是一个全新的函数模型，学习起来比较困难。而对数函数又是本章的重要内容，在高考中占有一定的分量，它是在指数函数的基础上，对函数类型的拓广，同时在解决一些日常生活问题及科研中起十分重要的作用。通过本节课的学习，可以让学生理解对数的概念，从而进一步深化对对数模型的认识与理解，为学习对数函数作好准备。同时，通过对数概念的学习，对培养学生对立统一，相互联系、相互转化的思想，培养学生的逻辑思维能力都具有重要的意义。

      二、学生学习情况分析

      现阶段大部分学生学习的自主性较差，主动性不够，学习有依赖性，且学习的信心不足，对数学存在或多或少的恐惧感。通过对指数与指数幂的运算的学习，学生已多次体会了对立统一、相互联系、相互转化的思想，并且探究能力、逻辑思维能力得到了一定的锻炼。因此，学生已具备了探索发现研究对数定义的认识基础，故应通过

      指导，教会学生独立思考、大胆探索和灵活运用类比、转化、归纳等数学思想的学习方法。

      三、设计思想

      学生是教学的主体，本节课要给学生提供各种参与机会。为了调动学生学习的积极性，使学生化被动为主动。本节课我利用多媒体辅助教学，教学中我引导学生从实例出发，从中认识对数的模型，体会引入对数的必要性。在教学重难点上，我步步设问、启发学生的思维，通过课堂练习、探究活动，学生讨论的方式来加深理解，很好地突破难点和提高教学效率。让学生在教师的引导下，充分地动手、动口、动脑，掌握学习的主动权。

      四、教学目标1、理解对数的概念，了解对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的互化；理解对数的性质，掌握以上知识并形成技能。

      2、通过事例使学生认识对数的模型，体会引入对数的必要性；通过师生观察分析得出对数的概念及对数式与指数式的互化。

      3、通过学生分组探究进行活动，掌握对数的重要性质。通过做练习，使学生感受到理论与实践的统一。

      4、培养学生的类比、分析、归纳能力，严谨的思维品质以及在学习过程中培养学生探究的意识。

      五、教学重点与难点

      重点：（1）对数的概念；（2）对数式与指数式的相互转化。

      难点：（1）对数概念的理解；（2）对数性质的理解。

      讲授新课二、对数式与指数式的互化：（5分钟）幂底数← a →对数底数

      指数← b →对数

      幂← N →真数

      思考：

      ①为什么对数的定义中要求底数a>0且a≠1？

      ②是否是所有的实数都有对数呢？

      负数和零没有对数

      让学生了解

      对数与指数

      的关系，明确

      对数式与指

      数式形式的

      区别，a、b

      和N位置的

      不同，及它们

      的含义。互化

      体现了等价

      转化这个重

      要的数学思

      想。

      三、两个重要对数（2分钟）

      ①常用对数：

      以10为底的对数N

      10

      log，简记为: lgN

      ②自然对数：

      以无理数e=2.71828…为底的对数的对数N

      e

      log

      简记为: lnN . (在科学技术中，常常使用以e为底的对

      数)

      注意：两个重要对数的书写

      这两个重要

      对数一定要

      掌握，为以后

      的解题以及

      换底公式做

      准备。

      课堂练习（7分钟）

      1 将下列指数式写成对数式：

      （1）16

      24=（2）

      27

      1

      33=

      -

      （3）20

      5=

      a（4）45

      .0

      2

      1

      =

      ⎪

      ⎭

      ⎫

      ⎝

      ⎛b

      2 将下列对数式写成指数式：

      （1）3

      125

      log

      5

      =（2）2

      3

      log

      3

      1

      -

      =

      （3）069

      .1

      log

      10

      -

      =

      a

      3 求下列各式的值：

      （1）64

      log

      2（2）

      27

      log

      9

      本练习让学

      生独立阅读

      课本P69例1

      和例2后思

      考完成，从而

      熟悉对数式

      与指数式的

      相互转化，加

      深对对数的

      概念的理解。

      并要求学生

      指出对数式

      与指数式互

      化时应注意

      哪些问题。培

      养学生严谨

      的思维品质。

巩固练习（10分钟）

      1、课本P70 练习

      2、提高训练

      (1)已知x满足等式[]0

      )

      (log

      log

      log

      2

      3

      5

      =

      x，求x

      16

      log值

      （2）求值：e

      ln

      100

      1

      lg

      25

      .6

      log

      5.2

      +

      +

      巩固指数式

      与对数式的

      互化，巩固对

      数的基本性

      质及其应用。

      归纳小结

      强化思想（3分钟）

      1、引入对数的必要性----对数的概念

      一般地，如果a(a>0且a≠1)的b次幂等于N，就是

      b

      a=N，那么数b叫做以a为底，N的对数。记作

      b

      N

      a

      =

      log

      2 、指数与对数的关系

      3、对数的基本性质

      负数和零没有对数0

      1

      log=

      a

      1

      log=

      a

      a

      对数恒等式:  N

      a N a=

      log n

      a n

      a

      =

      log

      总结是一堂

      课内容的概

      括，有利于学

      生系统地掌

      握所学内容。

      同时，将本节

      内容纳入已

      有的知识系

      统中，发挥承

      上启下的作

      用。为下一课

      时对数的运

      算打下扎实

      的基础。

      作业布置一、课本P82 习题2.2 A组第1、2题

      二、已知

      y

      x

      a

      a

      =

      =3

      log

      ,

      2

      log，求y

      x

      a2

      3+

      的值

      三、求下列各式的值：

      5

      log

      22

      23

      log2

      2-

      5

      log

      29

      34

      log

      2

      13

      3-

      作业是学生

      信息的反馈，

      教师可以在

      作业中发现

      学生在学习

      中存在的问

      题，弥补教学

      中的不足。

      板书设计

      §2.2.1 对数的概念

      引例1

      引例2

      一、对数

      的定义

      二、对数式与指数

      式的互化

      练习

      三、对数的基本

      性质

      四、小结

      五、作业布置

      七、教学反思

      本教学设计先由引例出发，创设情境，激发学生对对数的兴趣；在讲授新课部分，通过结合多媒体教学以及一系列的课堂探究活动，加深学生对对数的认识；最后通过课堂练习来巩固学生对对数的掌握。

      古田一中林宁宁

      点评：

      对数概念是高中数学课程的重要内容。本文目标的制订具体、适宜，且明确地体现在每一教学环节中，教学思路设计符合教学内容实际和学

      生实际，层次脉络较清晰。强调对数的概念的理解，对数式与指数式的

      相互转化，对书写规格等做了要求，有利于学生作业的规范化，培养学

      生严谨的思维品质。高中新课程在教学方面所倡导的新的教学理念，对

      于促进课堂教学中学生学习方式的变革起到了巨大作用。然而，这些理

      念在指导我们重建课堂教学时也表现出限定的有效性。只有对此有客观

      和充分的认识，我们才不至于生搬硬套，适得其反，从一个极端走向另一个极端。教无定法，重在得法，只要能激发学生的学习兴趣，提高学

      生的学习积极性，有助于学生思维能力的培养，有利于所学知识的掌握

      和运用，达到课堂教学的效果，都应该是好的教学方法。

      4、对数函数及其性质（1）

      一、教材分析

      本小节选自《普通高中课程标准数学教科书-数学必修（一）》（人教版）第二章基本初等函数（1）2.2.2对数函数及其性质（第一课时），主要内容是学习对数函数的定义、图象、性质及初步应用。对数函数是继指数函数之后的又一个重要初等函数，无论从知识或思想方法的角度对数函数与指数函数都有许多类似之处。与指数函数相比，对数函数所涉及的知识更丰富、方法更灵活，能力要求也更高。学习对数函数是对指数函数知识和方法的巩固、深化和提高，也为解决函数综合问题及其在实际上的应用奠定良好的基础。虽然这个内容十分熟悉，但新教材做了一定的改动，如何设计能够符合新课标理念，是人们十分关注的，正因如此，本人选择这课题立求某些方面有所突破。

      二、学生学习情况分析

      刚从初中升入高一的学生，仍保留着初中生许多学习特点，能力发展正处于形象思维向抽象思维转折阶段，但更注重形象思维。由于函数概念十分抽象，又以对数运算为基础，同时，初中函数教学要求降低，初中生运算能力有所下降，这双重问题增加了对数函数教学的难度。教师必须认识到这一点，教学中要控制要求的拔高，关注学习过程。

      三、设计理念本节课以建构主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据进行设计的，针对学生的学习背景，对数函数的教学首先要挖掘其知识背景贴近学生实际，其次，激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，确实改变学生的学习方式。

      四、教学目标

      1．通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；

      2．能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；

      3．通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养学生运用函数的观点解决实际问题。五、教学重点与难点

      重点是掌握对数函数的图象和性质，难点是底数对对数函数值变化的影响．

      六、教学过程设计

      教学流程：背景材料→引出课题→函数图象→函数性质→问题解决→归纳小结

      （一）熟悉背景、引入课题

      1．让学生看材料：

      材料1（幻灯）：马王堆女尸千年不腐之谜：一九七二年，马王堆考古发现震惊世界，

      专家发掘西汉辛追遗尸时，形体完整，全身润泽，皮肤仍有弹性，关节还可以活动，骨质比现在六十岁的正常人还好，是世界上发现的首例历史悠久的湿尸。大家知道，世界发现的不腐之尸都是在干燥的环境风干而成，譬如沙漠环境，这类干尸虽然肌肤未腐，是因为干燥不利细菌繁殖，但关节和一般人死后一样，是僵硬的，而马王堆辛追夫人却是在湿润的环境中保存二千多年，而且关节可以活动。人们最关注有两个问题，第一：怎么鉴定尸体的年份？第二：是什么环境使尸体未腐？其中第一个问题与数学有关。

      图 4—1

      （如图 4—1在长沙马王堆“沉睡”近2200年的古长沙国丞相夫人辛追，日前奇迹般地“复活”

      了）

      那么，考古学家是怎么计算出古长沙国丞相夫人辛追“沉睡”近2200年？上 面已经知道考古学家是通过提取尸体的残留物碳14的残留量p ，利用P t 2

      15730

      log

      =

      估算尸体出土的年代，不难发现：对每一个碳14的含量的取值，通过这个对应关

      系，

      生物死亡年数t 都有唯一的值与之对应，从而t 是P 的函数；

      如图4—2材料2（幻灯）：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个 ……， 如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到细胞1万个，10万个 ……，不难发现：分裂次数y 就是要得到的细胞个数x 的函数，即x y 2log =；

      图 4—21.引导学生观察这些函数的特征：含有对数符号，底数是常数，真数是变量，从而得出对数函数的定义：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．

      注意：○

      1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如： x y 2log 2=，5

      log 5

      x

      y = 都不是对数函数．○

      2 对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ．

      3．根据对数函数定义填空；

      例1 （1）函数 y=log a x 2的定义域是___________ (其中a>0,a ≠1)

      (2) 函数y=log a (4-x) 的定义域是___________ (其中a>0,a ≠1)                  说明：本例主要考察对数函数定义中底数和定义域的限制，加深对概念的理解，

      所以把教材中的解答题改为填空题，节省时间，点到为止，以避免挖深、拓展、引入复合函数的概念。

      [设计意图：新课标强调“考虑到多数高中生的认知特点，为了有助于他们对函数概念本质的理解，不妨从学生自己的生活经历和实际问题入手”。因此，新课引入不是按旧教材从反函数出发，而是选择从两个材料引出对数函数的概念，让学生熟悉它的知识背景，初步感受对数函数是刻画现实世界的又一重要数学模型。这样处理，对数函数显得不抽象，学生容易接受，降低了新课教学的起点]

      （二）尝试画图、形成感知1．确定探究问题

      教师：当我们知道对数函数的定义之后，紧接着需要探讨什么问题？ 学生1：对数函数的图象和性质

      教师：你能类比前面研究指数函数的思路，提出研究对数函数图象和性质的方法吗？ 学生2：先画图象，再根据图象得出性质

      教师：画对数函数的图象是否象指数函数那样也需要分类？ 学生3：按1a >和1a 0<<；分类讨论 教师：观察图象主要看哪几个特征？

      学生4：从图象的形状、位置、升降、定点等角度去识图

      教师：在明确了探究方向后，下面，按以下步骤共同探究对数函数的图象： 步骤一：（1）用描点法在同一坐标系中画出下列对数函数的图象            x y 2log =  x y 21log =（2）用描点法在同一坐标系中画出下列对数函数的图象  x y 3log =  x y 3

      1log =

      步骤二：观察对数函数x y 2log =、x y 3log =与x y 2

      1log =、x y 3

      1log =的图象特征 ，

      看看它们有那些异同点。

      步骤三：利用计算器或计算机，选取底数a 0(>a ，且)1≠a 的若干个不同的值，在同一平面直角坐标系中作出相应对数函数的图象。观察图象，它们有哪些共同特征？

      步骤四：规纳出能体现对数函数的代表性图象

      步骤五：作指数函数与对数函数图象的比较 2．学生探究成果

      （1）如图 4—3、4—4较为熟练地用描点法画出下列对数函数 x y 2log =、

      x y 2

      1log =、                x y 3log =、x y 3

      1log =的图象

      （2）如图4—5学生选取底数a =1/4、1/5、1/6、1/10、4、5、6、10，并推荐几

      图4—3

      图4—4

      位代表上台演示‘几何画板’，得到相应对数函数的图象。由于学生自己动手，加上‘几何画板’的强大作图功能，学生非常清楚地看到了底数a 是如何影响函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 图象的变化。

      （3）有了这种画图感知的过程以及学习指数函数的经验，学生很明确y = log a  x  （a>1）、y = log a  x (0<a<1) 的图象代表对数函数的两种情形。（图4—6）

      y = log a  x  （a>1）                  y = log a  x  (0<a<1)

      （4）学生相互补充，自主发现了图象的下列特征：①图象都在y 轴右侧，向y 轴正负方向无限延伸；②都过（1、0）点；③当a>1时，图象沿x 轴正向逐步上升；当0<a<1时，图象沿x 轴正向逐步下降；④图象关于原点和y 轴不对称，并且能从图象的形状、位置、升降、定点等角度指出指数函数与对数函数的图象区别；如图4—7

      图4—5图4—6

      3．拓展探究：（1）对数函数x y 2log = 与  x y 2

      1log =、x y 3log = 与  x y 3

      1log =的

      图象有怎样的对称关系？

      （2）对数函数y = log a  x （a>1），当a 值增大，图象的上升“程度”

      怎样？

      说明：这是学生探究中容易忽略的地方，通过补充学生对对数函数图象感性认

      识就比较全面。

      [设计意图：旧教材是通过对称变换直接从指数函数的图象得到对数函数图象，这样处理学生虽然会接受了这个事实，但对图象的感觉是肤浅的；这样处理也存在着函数教学忽视图象、性质的认知过程而注重应用的“功利”思想。因此，本节课的设计注重引导学生用特殊到一般的方法探究对数函数图象的形成过程，加深感性认识。同时，帮助学生确定探究问题、探究方向和探究步骤，确保探究的有效性。这个环节，还要借助计算机辅助教学作用，增强学生的直观感受]

      （三）理性认识、发现性质

      1．确定探究问题

      教师：当我们对对数函数的图象有了直观认识后，就可以进一步研究对数函数的

      性质，提高我们对对数函数的理性认识。同学们，通常研究函数的性质有哪些途径？

      学生：主要研究函数的定义域、值域、单调性、对称性、过定点等性质。 教师：现在，请同学们依照研究函数性质的途径，再次联手合作，根据图象特征

      探究出对数函数的定义域、值域、单调性、对称性、过定点等性质 2．学生探究成果

      图4—7

      图    像

      定义域 R + R + 值    域

      R

      R

      单调性 在（0，+  ）上是增函数 在（0，+  ）上是减函数 过定点（1，0）即x=1，y=0

      （1，0）即x=1，y=0  取值范围

      0<x<1时，y<0  x>1时，y>0 0<x<1时，y>0  x>1时，y<0

      [设计意图：发现性质、弄清性质的来龙去脉，是为了更好揭示对数函数的本质属性，传统教学往往让学生在解题中领悟。为了扭转这种方式，我先引导学生回顾指数函数的性质，再利用类比的思想，小组合作的形式通过图象主动探索出对数函数的性质。教学实践表明：当学生对对数函数的图象已有感性认识后，得到这些性质必然水到渠成]

      （四）探究问题、变式训练

      问题一：（幻灯）（教材p79 例8） 比较下列各组数中两个值的大小：

      (1) log 23.4 , log 28.5      （2）log 0.31.8 , log 0.32.7 （3）log a 5.1 , log a 5.9 ( a ＞0 , 且a ≠1 )

      独立思考：1。构造怎样的对数函数模型？2。运用怎样的函数性质？

      小组交流：（1）x y 2log =是增函数 （2）        是减函数            （3）y = log a  x ，分 1a >和1a 0<<；分类讨论

      变式训练：1. 比较下列各题中两个值的大小:

      ⑴ log 106      log 108    ⑵ log 0.56        log 0.54

      ⑶ log 0.10.5        log 0.10.6  ⑷ log 1.50.6      log 1.50.4

      2．已知下列不等式，比较正数m ，n 的大小：

      X。y 3

      0log =∝∝

      (1) log  3 m < log  3 n      (2) log  0.3 m > log  0.3 n

      (3) log  a  m < log a  n  (0<a<1)  (4) log  a  m > log a  n  (a>1) 问题二：（幻灯）（教材p79 例9）溶液酸碱度的测量。

      溶液酸碱度是通过pH 刻画的。pH 的计算公式为pH= —lg[  ]

      ，其中  [  ]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升。（1）根据对数函数性质及上述pH 的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；（2）已知纯静水中氢

      离子的浓度为[  ] = -    摩尔/升，计算纯静水的pH 独立思考：解决这个问题是选择怎样的对数函数模型？运用什么函数性质？

      小组交流：pH=-lg[  ]=lg[    ]=lg1/[  ], 随着[  ]

      的增大，pH 减小，即溶液中氢离子浓度越大，溶液的酸碱度就越大

      [设计意图：1。这个环节不做为本节课的重头戏，设置探究问题只是从另一层面上提升学生对性质的理解和应用。问题一是比较大小，始终要紧扣对数函数模型，渗透函数的观点（数形结合）解决问题的思想方法；2。旧教材在图象与性质之后，通常操练类似比较大小等技巧性过大的问题，而新教材引出问题二，还是强调“数学建模”的思想，并且关注学科间的联系，这种精神应予领会。当然要预计到，实际教学中学生理解这道应用题题意会遇到一些困难，教师要注意引导]

      （五）归纳小结、巩固新知

      1．议一议：（1）怎样的函数称为对数函数？（2）对数函数的图象形状与底数有什么样的关系？ （3）对数函数有怎样的性质？

      2．看一看：对数函数的图象特征和相关性质

      +H +H +

      H 7

      10-+H +H +H +H

      （六）作业布置、课后自评

      习题2．2（A组）第7、8、9、12题．

      1．必做题：教材P

      82

      习题2．2（B组）第2题．

      2．选做题：教材P

      83

      3．

      七、教学反思

      从教二十多年，每每设计函数的教学，始终存有困惑的感慨，同时也有遇旧如新的喜悦。函数始终是高中数学教学的主线，对数函数始终是高中数学的难点。高中新课改的春风，带来了函数教学设计上的创新，促使我们在学生学习方法上、教学内容的组织上、教学辅助手段上率先尝试，但这只是一个起点，目前教学条件还受到制约，如图形计算器未能普及、课时紧容量大，都影响函数的正常教学，通过这次活动希望能引起大家的广泛关注并深入探讨！

      【参考文献】1。普通高中数学课程标准，人教社，2003

      2．章建跃，数学课堂教学设计研究。数学通报，2006.7

      宁德市霞浦县第六中学郭星波点评：

      本文教学目标的设计定位准确，教学重点、难点明确。从两个实际问题引出对数函数的概念，让学生了解知识产生的背景，初步感受对数函数是刻画现实世界的一个重要数学模型。教学设计注重引导学生用特殊到一般的方法探究对数函数图象的形成过程，加深感性认识。同时，帮助学生确定探究问题、探究方向和探究步骤，确保探究的有效性。同时借助计算机辅助教学，增强学生的直观感受。

      教给学生方法比教给学生知识更重要。本设计能在前一节刚学过指数函数的图象与性质的基础上，通过类比，以旧引新，自然过渡到本节的学习，用研究指数函数的图象与性质的方法来研究对数函数的图象与性质。在教学过程中，教师能引导学生确定探究问题、探究方向和探究步骤，确保了探究的有效性；让学生动手画图、观察图象，启发学生思考、实验、分析、归纳，注重探究的过程与方法。在这里，教师成为课堂教学的组织者与学生学习的促进者，而学生成为学习的主人，学会了学习，学到了“对比联系”、“数形结合”及“分类讨论”的思想方法。

      另外，教学情景的设置、教学例题的选用，以及信息技术来动态演示，都令人耳目一新，体现了教师的良好的素养及丰厚的学科功底。

      5、对数函数及其性质（2）

      一、教学内容分析

      《普通高中课程标准数学教科书·必修（1）》（人民教育出版社）高中一年级第二单元2.2.2《对数函数的图象和性质》第一课时。

      函数是高中数学的主体内容——变量数学的主要研究对象之一，是中学数学的重点知识，研究函数的一般理论和基本方法，用函数的思想方法解决实际问题，是函数教学的主要目标。必修(Ⅰ)2.2.2对数函数及其性质，按课标要求教学时间为3个学时，本节课为第1课时，本节课教学是学生在学过正比例函数、一次函数、二次函数、反比例函数和指数函数的基础上进一步学习的一种新函数，对对数函数概念的理解，图象和性质的掌握和应用有利于学生对初等函数认识的系统性，有利于进一步加深对函数思想方法的理解。为后面进一步探究对数函数的应用及指数函数、对数函数的综合应用起到承上启下的作用。

      二、学情与教材分析

      对数函数是高中引进的第二个初等函数，是本章的重点内容。学生在前面的函数性质、指数函数学习的基础上，用研究指数函数的方法，进一步研究和学习对数函数的概念、图象和性质以及初步应用，有利于学生进一步完善初等函数的认识的系统性，加深对函数的思想方法的理解，在教学过程中，虽然学生的认知水平有限，但只要让学生体验对数函数来源于实践，通过教师课件的演示，通过数形结合，让学生感受y=log a x(a>0且a≠1)中，a取不同的值时反映出不同的函数图象，让学生观察、小组讨论、发现、归纳出图象的共同特征、函数图象的规律，进而探究学习对数函数的性质。

      最后将对数函数、指数函数的图象和性质进行比较，以便加深对对数函数的概念、图象和性质的理解，同时也为后面教学作准备。

      三、设计思想

      在本节课的教学过程中，通过古遗址上死亡生物体内碳14含量与生物死亡年代关系的探索，引出对数函数的概念。通过对底数a的分类讨论，探究总结出对数函数的图象与性质，使学生经历从特殊到一般的过程，体验知识的产生、形成过程，通过例题的分析与练习，进一步培养学生自主探索，合作交流的学习方式，通过学生经历直观感知，观察、发现、归纳类比，抽象概括等思维过程，落实培养学生积极探索学习习惯，提高学生的数学思维能力的新课程理念。

      四、教学目标

      1、通过对对数函数概念的学习，培养学生实践能力，使学生理解对数函数的概念，激发学生的学习兴趣。

      2、通过对对数函数有关性质的研究，渗透数形结合、分类讨论的数学思想。培

      养观察、分析、归纳的思维能力和交流能力，增强学习的积极性。掌握对数函数的图象与性质，并会初步应用。

      3、培养学生自主学习、数学交流能力和数学应用意识。通过联系观点分析，解决两数比较大小的问题。

      五、教学重点和难点

      重点：1、对数函数的定义、图象、性质。2、对数函数的性质的初步应用。

      难点：底数a对对数函数图象、性质的影响。

      六、教学过程设计活动三：

      1、你能用描点法画出x y 2log =和

      x y 2

      1log =的图象吗？

      2、从画出的图象中，你能发现解析式的区别在哪里？图象有什么不同和联系？

      生：独立画图，同学间交流。

      师：课堂巡视，个别辅导，展示画得较好的个别同学图象。图5—1

      图5—1

      生：个别同学尝试回答。 师：引导学生发现、观察、对比底数不同对函数图象的影响。

      会用描点法画出这两个函数的图象。

      为对数函数的图象和性质作铺垫。

      活动四：

      1、你知道下列函数：

      （1）,log 2x y =x y 3log =，x y 4log =， （2）x y 2

      1log =，x y 3

      1log =，x y 4

      1log =

      图象吗？观察并回答有什么共同点和不同点？

      2、你能思考并归纳出x y a log =

      0(>a 且)1≠a 中，当1>a 和

      10<<a 时，两种图象的特点吗？

      生：独立思考，小组讨论。

      师：用多媒体课件展示各个函数的图象。

      生：观察图象讨论、交流合作，归纳出对数函数的共同性质。

      师：注意引导学生从函数性质去分析。

      通过学生讨论，培养学生交

      流合作能力。

      获得对数函

      数的图象和性

      质。

      明确底数a 是确定对数函数的要素，渗透分类讨论思想。

七、教学反思函数内容是学生学习上的一个难点，本节课的教学设计能通过实例，渗透数学方法和思想，与指数函数的类比学习，注重学生探究学习的过程。能够根据教学内容、学生的认知规律和教学设计的情意原则、过程原则进行设计，突出教师的指导和学生

      自主探究、合作交流的学习理念，使学生对概念的产生、图象的形成过程有了较深入的理解。通过对对数函数的图象和性质的研究，对底数a 的分类讨论，以达到突破难点的目的。通过例题的分析和讲解、学生的练习，使函数的图象和性质得到初步应用。活动八补充的思考题是让层度较好的同学去完成，如果课堂时间不允许，可将此部份内容留给学生课后去完成。

      漳平二中邓荣庆

      点评

      本节课是根据学生认知规律设计教学，通过学生实践使学生理解对数函数的概念，其过程是主要的，通过对函数x y 2log =和x y 2

      1log =的描点法

      函数图象的产生，更重要的是对函数x y a log =(a>0且a ≠1)的底数a 的变

      化，进行观察、分析、归纳等探究活动，形成了对数函数x y a log =(a>0

      且a ≠1)的底数a>1和0<a<1的两种情况下的图象，在教师的启发、引导下，结合前面指数函数的学习方法，数形结合，让学生小组讨论、合作交流，一起归纳出对数函数的性质。通过教学活动六，使学生对函数的概念更深刻的理解。教学活动七，使学生用函数图象的单调性解决问题。例2补充的(3)、(4)两个小题，目的是使学生从函数的各个角度分析问题，解决问题，培养学生探索精神。最后补充的思考题是让学有余力的同学去完成，使不同层次的学生各有所得。

      通过小结，让学生对建立和研究一个具体函数的方法有较完整的认识。

      6、函数图象及其应用

      一．教学内容分析：

      本堂课安排在人教版必修1第二章结束之后，第三章教学之前，对所学常见函数模型及其图像进行归纳总结，使学生对函数图像有个系统的认识，在此基础上，一方面加强学生的看图识图能力，探究函数模型的广泛应用，另一方面，着重探讨函数图像与方程的联系，渗透函数与方程的思想及数形结合思想，为第三章作了很好的铺垫，承上启下，衔接自然，水到渠成。

      学生对函数与方程的关系有一个逐步认识的过程，应遵循由浅入深、循序渐进的原则．从学生认为较简单的问题入手，由具体到一般，建立方程的根与函数图像的联系。另外，函数与方程相比较，一个“动”，一个“静”；一个“整体”，一个“局部”，用函数的观点研究方程，本质上就是将局部的问题放在整体中研究，将静态的结果放在动态的过程中研究，这为今后进一步学习函数与不等式等其它知识的联系奠定了坚实的基础。

      二．学生学习情况分析：

      学生在学完了第一章《集合与函数概念》、第二章《基本初等函数》后，对函数的性质和基本初等函数及其图像有了一定的了解和把握，但学生素质参差不齐，又存在能力差异，导致不同学生对知识的领悟与掌握能力的差距很大。因此进行本堂课的教学，应首先有意识地让学生归纳总结旧知识，提高综合能力，对新知识的传授，即如何利用函数图像解决方程的根的问题，则应给足学生思考的空间和时间，充分化解学生的认知冲突，化难为易，化繁为简，突破难点。高中数学与初中数学相比，数学语言在抽象程度上突变，思维方法向理性层次跃迁，知识内容的整体数量剧增，以上这三点在函数这一章中得到了充分的体现，本章的特点是具有高度的抽象性、逻辑性和广泛的适用性，对能力要求较高。因此，在教学中应多考虑初高中的衔接，更好地帮助学生借由形象的手段理解抽象的概念，在函数这一章，函数的图像就显得尤其重要而且直观。

      三．设计思想：

      1．尽管我们的教材为学生提供了精心选择的课程资源，但教材仅是教师在教学设计时所思考的依据，在具体实施中，我们需要根据自己学生数学学习的特点，联系学生的学习实际，对教材内容进行灵活处理，比如调整教学进度、整合教学内容等，本节课是必修1第二章与第三章的过渡课，既巩固了第二章所学知识，又为第三章学习埋下伏笔，对教材做了一次成功的加工整合，正所谓磨刀不误砍材功。

      2．树立以学生为主体的意识，实现有效教学。现代教学论认为，学生的数学学习过程是一个学生已有的知识和经验为基础的主动建构的过程，只有学生主动参与到学习活动中，才是有效的教学。在本节课的设计中，首先设计一些能够启发学生思维的活动，学生通过观察、试验、思考、表述，体现学生的自主性和活动性；其次，设计一些问题情境，而解决问题所需要的信息均来自学生的真实水平，要么定位在学生已有的知识基础，要么定位在一些学生很容易掌握的知识上，保证课堂上大部分学生都能够轻松地解决问题。随着学生的知识和信息不断丰富，可以向学生介绍更多类型的问题情境或更难的应用问题情境，渗透数学思想，使学生学会问题解决的一般规律。

      3．凡事预则立，不预则废。预设是数学课堂教学的基本要求，但课堂教学不能过分拘泥于预设的固定不变的程序，应当开放地纳入弹性灵活的成分以及始料不及的体验。一堂好数学课应该是一节不完全预设的课，在课堂中有教师和学生真实的情感、智慧的交流，这个过程既有资源的生成，又有过程状态的生成，内容丰富，多方互动，给人以启发。

      四．教学目标：

      1．通过复习所学函数模型及其图像特征，使学生对函数有一个较直观的把握和较形象的理解，缓解因函数语言的抽象性引起的学生的心理不适应及不自觉的排斥情绪。

      2．通过练习的设置，从解决简单实际问题的过程中，让学生体会函数模型的广泛适用性，贯穿理论联系实际、学以致用的观点，充分体现数学的应用价值，加强学生的看图识图能力，激发学习兴趣，引导学生自觉自主参与课堂教学活动。

      3．通过对所给问题（例题1、2）的自主探究和合作交流，使学生理解动与静，整体与局部的辨证统一关系，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用。

      4．结合具体的问题，并从特殊推广到一般，使学生领会函数与方程之间的内在联系，体验函数与方程思想、数形结合思想及等价转化思想的意义和价值。

      五．教学重点和难点：

      教学重点：常见函数模型的图像特征和实际应用。通过课堂师生互动交流，共同完成对相关知识的系统归纳，借助多媒体课件演示，增加学生的直观体验，深化认识，突破重点。

      教学难点：利用函数图像研究方程问题的思想和方法。在教学过程中，通过学生自主探究学习，在实际问题的解决中学习将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，实现难点突破。

      六．教学过程设计：练习1．如图6-1当1>a 时，在同一坐标系中，函数x a y -=与x y a log =的图像是（ D

      ）超过3分钟后，每增加1分钟多收费0.1元（不足1分钟按1分钟收费）。通话收费S （元）与通话时间t （分）的函数图像可表示为（ B ）(A) (B)

      (C) (D) 图6-2提问3：你能否写出通话收费S （元）关于通话时间t （分）)60(≤<t 的函数表达式？这样的函数称为什么函数？

      例1．若定义运算⎩⎨⎧<≥=•)

      ()(b a a b a b b a ，则函数x x x f -•=33)(的值域为（  A  ） ),.(),0.(),1)[(]1,0)((+∞-∞+∞+∞D C B A

      例2．当∈

      k 时，方程k x x =--322有两解？有三解？有四解呢？无解呢？

      本节课复习了常见函数模型及其图像特征，体会到利用函数图像解决函数性质的形象和直观，学习函数和方程的相互等价转化，体会函数方程思想与数形结合思想的意义和价值。

      正如华罗庚所说：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。

      课后作业：

      1．总结本节课的学习心得体会。

      波利亚（G ·Polya ）先生曾指出“一个重大的发现可以解决一道重大的题目，但是在解答任何一道题目的过程中都会有点滴的发现”。可见，习题在数学学习中具有非常重要的作用。

      学莫贵于自得，请你写下本节课的学习心得体会。

      2．课后习题：1．某工厂八年来产品总产量C （即前t 年年产量之和）与时间t （年）的函数如图6-3，

      下列四中说法：

      （1）前三年中，产量增长的速度越来越快；

      （2）前三年中，产量增长的速度越来越慢；

      （3）第三年后，这种产品停止生产；

      （4）第三年后，年产量保持不变；

      图6-3

      其中，说法正确的是（ A ）（A ）（2）与（3）  （B ）（2）与（4）  （C ）（1）与（3）  （D ）（1）与（4）

      2．若关于x 的方程0862=-+-k x x 有且只有两个不同的实根，则（    ）

      01)(10)(1)(0)(=><≤>=k k D k C k B k A 或

      3．如图6-4，函数的图像由两条射线及抛物线的一部分组成，求函数)(x f 的解析式。 变式：讨论方程a x f =)(的根的个数。附：板书设计

      1.常见函数模型

      2．分段函数

      练习2：……

      例1．……

      例2．……七．教学反思

      1．对教学内容的反思：

      对于数学教师来说，他要从“教”的角度去看数学去挖掘数学，不仅要能“做”、“会理解”，还应当能够教会别人去“做”、去“理解”，因此教师对教学概念的反思应当从逻辑的、历史的、关系、辨证等方面去展开。

      从逻辑的角度看，函数概念主要包含定义域、值域、对应法则三要素，以及函数的单调性、奇偶性、对称性等性质和一些具体的特殊函数，如：指数函数、对数函数等这些内容是函数教学的基础，但不是函数的全部。

      从关系的角度来看，不仅函数的主要内容之间存在着种种实质性的联系，函数与其他中学数学内容也有着密切的联系，其中就包括方程的根与函数的图象之间的等价转化问题。

      2．对学生数学学习活动的反思：师生之间在数学知识、数学活动经验、兴趣爱好、社会生活阅历等方面存在很大的差异，这些差异使得他们对同一个教学活动的感觉通常是不一样的。学生的数学学习只有通过自身的操作和主动的参与才可能是有效的，更为进一步的是学生的数学学习只有通过自身的情感体验，树立坚定的自信心才可能是成功的。为此，本节课在教学中着力于为学生提供丰富多彩的问题情境，关注学生的情感和情绪体验，让学生投入到现实的、充满探索的数学学习过程中，从而提高数学学习的水平，养成正确的学习态度和习惯。

      3．对数学教学活动的反思：

      教学设计的难点在于教师把学术形态的知识转化为适合学生探究的认知形态的知识。学生的认知结构具有个性化特点，教学内容具有普遍性要求。如何在一节课中把二者较好地结合起来，是提高课堂教学效率的关键。本节课致力于提高课堂教学的有效性，其一，有明确的教学目标，其二，能突出重点、化解难点，其三，善于运用现代化教学手段，其四，根据具体内容，选择恰当的教学方法，其五，关注学生，及时鼓励，其六，充分发挥学生主体作用，调动学生的学习积极性，其七，切实重视基

      础知识、基本技能和基本方法，其八，渗透数学思想方法，提高综合运用能力。在实际教学中应因材施教，用不一样的标准衡量学生，尽量做到让不同的学生得到不同的发展。

      晋江养正中学黄培华

      点评：

      在环节（一）中，考虑到学生的知识水平和理解能力，从学生熟悉的知识入手，通过适当的问题情景，引导学生在有限的时间内完成对所学函数模型及其图像的归纳和总结，让学生思考回顾、动手画图、课堂交流、亲身实践、温故知新。新课程理念指出，学生是学习的主体，所有的知识只有通过学生自身的“再创造”活动，才能纳入其认知结构中，才可能成为下一个有效的知识。

      在环节（二）中，通过练习2的设置，使同学认识了分段函数及其在实际生活中的应用，拓展学生的思维；在例1、例2的引入和剖析中，将问题情境化，过程探讨化，通过精心设计问题情境，不断激发学生的学习动机，给学生提供学习的目标、思维和空间，使学生自主学习真正成为可能。新课程的教学理念转变为具体的教学行为时“问题情境”在教学中的设置，显得格外重要，而且随着教学过程的发展成为一个连续的过程，并通过有效追问形成几个高潮，使学生在问题的解决中不断的学习。对于学生来说，学习数学的一个重要目的是要学会数学的思考，用数学的眼光去看世界去了解世界。而数学能力的提高离不开解题，“解题策略的掌握，思想方法的运用，并不在于教师讲了多少，而是在于学生通过自己的认识活动体验、感悟了多少。”这两个例题尽管较为简单，

      但蕴含着重要的数学思维方法和思想精髓，具有典型性和示范性。不为解题而解题，为的是通过解题，让学生感悟和体验数学的理性精神，在潜移默化中渗透数学思想。

      新课程在教学方面具有三大核心理念，即建构性、生成性、多元性，这些理念对于改造传统的课堂教学起到了巨大作用。然而，这些理念在指导我们重建课堂教学时也表现出限定的有效性。只有对此有客观和充分的认识，我们才不至于生搬硬套，适得其反，从一个极端走向另一个极端。教无定法，重在得法，只要能激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性，有助于学生思维能力的培养，有利于所学知识的掌握和运用，达到课堂教学的效果，都应该是好的教学方法。

      7、方程的根与函数的零点一、教学内容分析

      本节课选自《普通高中课程标准实验教课书数学I必修本（A版）》第94-95页的第三章第一课时3.1.1方程的根与函数的的零点。

      函数与方程是中学数学的重要内容，既是初等数学的基础，又是初等数学与高等数学的连接纽带。在现实生活注重理论与实践相结合的今天，函数与方程都有着十分重要的应用，再加上函数与方程还是中学数学四大数学思想之一，因此函数与方程在整个高中数学教学中占有非常重要的地位。

      就本章而言，本节通过对二次函数的图象的研究判断一元二次方程根的存在性以及根的个数的判断建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后由特殊到一般，将其推广到一般方程与相应的函数的情形．它既揭示了初中一元二次方程与相应的二次函数的内在联系，也引出对函数知识的总结拓展。之后将函数零点与方程的根的关系在利用二分法解方程中（3.1.2）加以应用，通过建立函数模型以及模型的求解（3.2）更全面地体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系．渗透“方程与函数”思想。

      总之，本节课渗透着重要的数学思想“特殊到一般的归纳思想”“方程与函数”和“数形结合”的思想，教好本节课可以为学好中学数学打下一个良好基础，因此教好本节是至关重要的。

      二学生学习情况分析

      地理位置：学生大多来自市区，学生接触面较广，个性较活跃，所以开始可采用竞赛的形式调动学生积极性；学生数学基础的差异不大，但进一步钻研的精神相差较大，所以可适当对知识点进行拓展。

      程度差异性：中低等程度的学生占大多数，程度较高与程度很差的学生占少数。

      知识、心理、能力储备：学生之前已经学习了函数的图象和性质，现在基本会画简单函数的图象，也会通过图象去研究理解函数的性质，这就为学生理解函数的零点提供了帮助，初步的数形结合知识也足以让学生直观理解函数零点的存在性，因此从学生熟悉的二次函数的图象入手介绍函数的零点，从认知规律上讲，应该是容易理解的。再者一元二次方程是初中的重要内容，学生应该有较好的基础对于它根的个数以及存在性学生比较熟悉，学生理解起来没有多大问题。这也为我们归纳函数的零点与方程的根联系提供了知识基础。但是学生对其他函数的图象与性质认识不深（比如三次函数），对于高次方程还不熟悉，我们缺乏更多类型的例子，让学生从特殊到一般归纳出函数与方程的内在联系，因此理解函数的零点、函数的零点与方程根的联系应该是学生学习的难点。加之函数零点的存在性的判定方法的表示抽象难懂。因此在教学中应加强师生互动，尽多的给学生动手的机会，让学生在实践中体验二者的联系，并充分提供不同类型的二次函数和相应的一元二次方程让学生研讨，从而直观地归