《复数》知识点总结 高中复数知识点总结

        《复数》知识点总结

        1、复数的概念形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位，满足，叫做复数的实部，叫做复数的虚部。

        （1）纯虚数：对于复数,当时，叫做纯虚数.（2)两个复数相等:相等的充要条件是.(3）复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，横轴为实轴，竖轴除去原点为虚轴。

        (4)复数的模：复数可以用复平面内的点表示，向量的模叫做复数的模，表示为：

        （5）共轭复数:两个复数的实部相等，虚部互为相反数时,这两个复数叫做共轭复数。

        2、复数的四则运算

        （1）加减运算：；（2)乘法运算:；

        （3）除法运算：;

        （4）的幂运算:，,，。(5）

        3、规律方法总结

        （1）对于复数必须强调均为实数,方可得出实部为,虚部为(2）复数是由它们的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法．对于一个复数,既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体,又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识

        （3）对于两个复数，若不全是实数，则不能比较大小,在复数集里一般没有大小之分，但却有相等与不等之分。(4）数系扩充后，数的概念由实数集扩充到复数集，实数集中的一些运算性质、概念、关系就不一定适用了，如绝对值的性质、绝对值的定义、偶次方非负等

        1、基本概念计算类例1．若且为纯虚数，则实数a的值为_________解：因为，＝，又为纯虚数，所以,3a－8＝0，且6＋4a0。

        2、复数方程问题例2．证明：在复数范围内，方程（i为虚数单位）无解证明:原方程化简为设z＝x＋yi(x、y），代入上述方程得整理得方程无实数解,所以原方程在复数范围内无解。

        3、综合类例3．设z是虚数,是实数，且－1〈<2

        （1）求｜z|的值及z的实部的取值范围;

        （2）设，求证：M为纯虚数；

        （3）求的最小值。解:（1)设z＝a＋bi(a，b）因为，是实数，所以，，即|z|＝1,因为＝2a,－1〈〈2,所以，z的实部的取值范围(－）

        （2）＝（这里利用了

        (1)中).因为a（－），，所以M为纯虚数(3）因为，a（－），所以,a＋1〉0,所以2×2－3＝1，当a＋1＝，即a＝0时上式取等号，所以,的最小值是1。

        4、创新类例4．对于任意两个复数）定义运算“⊙”为⊙＝，设非零复数在复平面内对应的点分别为，点O为坐标原点，若⊙＝0,则在中,的大小为_________。解法一:(解析法）设，故得点，，且＝0,即从而有＝故,也即解法二：（用复数的模）同法一的假设，知＝＋－2（)＝＋－2×0＝＋＝＋由勾股定理的逆定理知解法三：（用向量数量积的知识）同法一的假设,知，则有故