复数知识点精心总结 复数的重点知识

        复数知识点考试内容：复数的概念．复数的加法和减法．复数的乘法和除法．数系的扩充．考试要求：

        （1）了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义．

        （2）掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算．

        （3）了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想．1.⑴复数的单位为i，它的平方等于－1，即.⑵复数及其相关概念：1复数—形如a+bi的数（其中）；2实数—当b=0时的复数a+bi，即a；3虚数—当时的复数a+bi；4纯虚数—当a=0且时的复数a+bi，即bi.5复数a+bi的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实数）6复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示.⑶两个复数相等的定义：.⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.注：①若为复数，则若，则.（×）[为复数，而不是实数]若，则.（√）②若，则是的必要不充分条件.（当，时，上式成立）2.⑴复平面内的两点间距离公式：.其中是复平面内的两点所对应的复数，间的距离.由上可得：复平面内以为圆心，为半径的圆的复数方程：.⑵曲线方程的复数形式：①为圆心，r为半径的圆的方程.②表示线段的垂直平分线的方程.③为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程（若，此方程表示线段）.④表示以为焦点，实半轴长为a的双曲线方程（若，此方程表示两条射线）.⑶绝对值不等式：设是不等于零的复数，则①.左边取等号的条件是，右边取等号的条件是.②.左边取等号的条件是，右边取等号的条件是.注：.3.共轭复数的性质：，（a+bi）（）注：两个共轭复数之差是纯虚数.（×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]4⑴①复数的乘方：②对任何，及有③注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如若由就会得到的错误结论.②在实数集成立的.当为虚数时，，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.⑵常用的结论：若是1的立方虚数根，即，则.5.⑴复数是实数及纯虚数的充要条件：①.②若，是纯虚数.⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数.特例：零向量的方向是任意的，其模为零.注：.6.⑴复数的三角形式：.辐角主值：适合于0≤＜的值，记作.注：①为零时，可取内任意值.②辐角是多值的，都相差2的整数倍.③设则.⑵复数的代数形式与三角形式的互化：，，.⑶几类三角式的标准形式：7.复数集中解一元二次方程：在复数集内解关于的一元二次方程时，应注意下述问题：①当时，若＞0，则有二不等实数根；若=0，则有二相等实数根；若＜0，则有二相等复数根（为共轭复数）.②当不全为实数时，不能用方程根的情况.③不论为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.8.复数的三角形式运算：棣莫弗定理：