第六章实数
一、课标要求
1.了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的方根、算术平方根、立方根。
2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求百以内整数的平方根，会用立方运算求百以内整数（对应的负整数）的立方根，会用计数器求平方根、立方根。
3.了解无理数和实数的概念，知道实数和数轴上的点一一对应，能求实数的相反数与绝对值。
4.能用有理数估计一个无理数的大致范围。
5.了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并会按问题的要求对结果取近似值。
6.了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（
根号下不仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算。
二、课时划分
6.1：平方根 3课时
6.2：立方根 2课时
6.3：实数 2课时
三、课时教学设计
平方根（1）
教学目标：
知识与技能：
通过实际生活中的例子理解算术平方根的概念，会求非负数的算术平方根并会用符号表示；过程与方法：
通过生活中的实例，总结出算术平方根的概念，通过计算非负数的算术平方根，真正掌握算术平方根的意义。
情感态度与价值观：
通过学习算术平方根，认识数与人类生活的密切联系，建立初步的数感和符
号感，发展抽象思维，为学生以后学习无理数做好准备。
教学重点：1、了解数的算术平方根的概念。
2、会求一个非负数的算术平方根。
3、会用根号表示一个数的算术平方根。
教学难点：
根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根。
教学过程
一、创设情境导入新课
请同学们欣赏本节导图，并回答问题，学校要举行金秋美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积为252
dm的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少dm？这个问题实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题？
这就要用到平方根的概念，也就是本章的主要学习内容．这节课我们先学习有关算术平方根的概念．
二、合作交流解读探究
1、提出问题：
1）、学校要举行美术作品比赛，小欧很高兴。他想裁出一块面积为25平方分米的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？
2)、面积为16、9、4的正方形的边长分别是多少？
3)、上述两个问题的实质是什么？
4)、阅读课本P40页，并回答下列问题
（1）如果一个________的______等于a，即a
=，那么_________就叫做______的算术平方根
（2）正数a的算术平方根表示，读作__ ____规定：0的算术平方根为0。
（3）因为()2=100，所以100的算术平方根是_______，即__________；
（4）仿照（3）格式探求下列各数的算术平方根：0.0025；121；32；0.0001 （5）求算术平方根的运算与求平方运算有什么关系？
2、例1 求下列各数的算术平方根：
49；(4)0.0001
（1）81；(2)1；(3)
64
例2 下列各式是否有意义，为什么？
（1（2；（3注意：被开方数一定要为非负数。
三、应用迁移巩固提高
P41练习 1、2
探究：（课本第41页）
怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形？
方法1：课本中的方法，略；
方法2：
可还有其他方法，鼓励学生探究。
问题：这个大正方形的边长应该是多少呢？大正方形的边长是2，表示2的算术平方根，它到底是个多大的数？你能求出它的值吗？
建议学生观察图形感受2的大小．小正方形的对角线的长是多少呢？（用刻度尺测量它与大正方形的边长的大小）它的近似值我们将在下节课探究．
四、小结:
1、这节课学习了什么呢？
2、算术平方根的具体意义是怎么样的？
3、怎样求一个正数的算术平方根
五、作业：
P47习题第1、2题
六、教学反思：
平方根（2）
教学目标：
知识与技能：
会用计算器求算术平方根；了解无限不循环小数的特点；会用算术平方根的知识解决实际问题。
过程与方法：
通过折纸认识第一个无理数2，并通过估计它的大小认识无限不循环小数的特点。用计算器计算算术平方根，使学生了解利用计算器可以求出任意一个正数的算术平方根，再通过一些特殊的例子找出一些数的算术平方根的规律，最后让学生感受算术平方根在实际生活中的应用。
情感态度与价值观：
通过探究2的大小，培养学生的估算意识，了解两个方向无限逼近的数学思想，并且锻炼学生克服困难的意志，建立自信心，提高学习热情。
教学重点：
夹值法及估计一个（无理）数的大小。
教学难点：
夹值法及估计一个（无理）数的大小的思想。
教学过程
一、创设情境导入新课
【问题1】怎样用两个面积为1的正方形拼成一个面积为2的大正方形？它的边长a是多少？二、合作交流解读探究
教师提出问题，学生以小组为单位，动手拼剪，教师深入小组参与活动，帮助指导学生完成拼图活动．
方法1、如上图，把两个小正方形沿对角剪开，将所得的四个直角形拼在一起，就的到一个面积为2的大正方形。
设大正方形的边长为x，则22
x由算术平方根的意义，x
方法2、如右图，
【问题2】大正方形的边长是2，表示2的算术平方根，它到底是个多大的数？你能求出它的值吗？
学生在独立思考的基础上，再次分组活动
让学生思考讨论并估计大概有多大.由直观可知招大于1而小于2，那么了2是1点几呢？（接下来由试验可得到平方数最接近2的1位小数是1.4，而平方数大于2且最接近的1位小数是1.5，2大于1.4而小于1.5......
关于2是一个“无限不循环小数”要向学生详细说明．为无理数的概念的提出打下基础．2、（提出问题）：你对正数a的算术平方根a的结果有怎样的认识呢？
a的结果有两种情：当a是完全平方数时，a是一个有限数；当a不是一个完全平方数时，a是一个无限不循环小数。
3、例2 用计算器求下列各式的值：
（1）3136（2）2（精确到0.001）
注意计算器的用法，指出计算器上显示的也只是近似值，但我们可以利用计算器方便地求出一个正数的算术平方根的近似值．
例3（课本P43）．
要注意学生是否弄清了题意；然后分析解题思路：能否裁出符合要求的纸片，就是要比较两个图形的边长，而由题意，易知正方形的边长是20 cm，所以只需求出长方形的边长，设长方形的长和宽分别是3xcm和2xcm，求得长方形的长为350cm后，接下来的问题是比较350和20的大小，这是个难点。
三、应用迁移巩固提高
课本P44的练习 1、2
四、小结：
1、利用计算器可以求出任意正数的算术平方根的近似值.
2、被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律是怎
样的呢？
3、怎样的数是无限不循环小数？
五、作业：P47习题第5、题；
六、教学反思：
平方根（3）
教学目标：
知识与技能
了解平方根的概念，会用根号表示正数的平方根；了解开平方与平方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根
过程与方法
通过学习平方根，进一步建立数感和符号感，发展抽象思维。通过对正数平方根特点的探究，了解平方根与算术平方根的区别和联系，体验类比、化归等问题解决数学思想方法的运用，提高学生对问题的迁移能力。情感、态度与价值观
通过对实际生活中问题的解决，让学生体验数学与生活实际是紧密联系着的。通过探究活动培养动手能力和锻炼克服困难的意志，建立自信心，提高学习热情。教学重点：
平方根的概念和求数的平方根。
教学难点：
平方根和算术平方根的联系与区别。
教学过程
一、创设情境导入新课
【问题】
1、的平方是49。
2、平方得81的数有个，分别是。
3、一对互为相反数的平方是数。4
二、合作交流 解读探究
1、平方根的概念：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根．即：如果2x =a ，那么x 叫做a 的平方根．
求一个数的平方根的运算，叫做开平方．
例如：±3的平方等于9，9的平方根是±3，所以平方与开平方互为逆运算． 2、观察：课本P45的图6.1-2.
图6.1-2中的两个图描述了平方与开平方互为逆运算的运算过程，揭示了开平方运算的本质．并根据这个关系说出1,4,9的平方根．例4 求下列各数的平方根。 （1） 100 （2）
16
9 （3） 0.25
（注意书写格式）
3、按照平方根的概念，请同学们思考并讨论下列问题： 正数的平方根有什么特点？0的平方根是多少？负数有平方根吗？
一个是正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果，一个是负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算，符号：正数a 的算术平方根可用a 表示；正数a 的负的平方根可用-a 表示．
例5求下列各式的值：
（1）144，（2）－81.0，（3）196121±，（4）2
56
，（5）()2
56
三、应用迁移 巩固提高
课本P46-47 练习1、2、3 四、小结：
1、什么叫做一个数的平方根？
2、正数、0、负数的平方根有什么规律？
3、怎样求出一个数的平方根？数a的平方怎样表示？
五、作业
P47习题第3、4、题。
六、教学反思：
立方根（1）
三维教学目标：
知识与技能：1、了解立方根的概念，初步学会用根号表示一个数的立方根.
2、了解开立方与立方互为逆运算，会用立方运算求某些数的立方
根.
过程与方法：1、让学生体会一个数的立方根的惟一性.
2、分清一个数的立方根与平方根的区别。
情感态度与价值观：通过对于实际生活问题的解决，让学生体验数学与生活实际
是紧密联系的，通过探究活动培养动手能力和激发学生学习
数学的兴趣.
教学重点：立方根的概念和求法。
教学难点：立方根与平方根的区别。
教学过程
一、创设情境导入新课
1.填空
3的立方=
0的立方=
-1的立方=
2.问题：要制作一种容积为27 m3的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应该是多少？
设这种包装箱的边长为x m，则3x=27这就是求一个数，使它的立方等于27.
因为33=27， 所以x=3. 即这种包装箱的边长应为3 m
试一试：
（1） 请学生回忆平方根的概念，并联系上面问题，请学生归纳得出立方根
的概念；
（2） 学生联系开平方的概念，给出开立方的概念。
归纳 ：如果一个数的立方等于
a ，这个数叫做a 的立方根（也叫做三次方根），即如果3x a =，那么x 叫做a 的立方根。 二、合作交流 解读探究
1、探究： 根据立方根的意义填空，看看正数、0、负数的立方根各有什么特点？
因为3
28=，所以8的立方根是（ 2 ）
因为()3
0.50.125=，所以
0.125的立方根是（ 0.5 ） 因为(
)3
00=，所以8的立方根是（ 0 ）
因为()3
28-=-，所以8的立方根是（ 2- ）因为328327⎛⎫
-=-
⎪⎝⎭
，所以8的立方根是（ 23- ）
一个数，其中a 叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方。表示273=；
表示27-3=-.2、探究： ____,____,== -
____,____==利用开立方和立方互为逆运算关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互逆关系，检验其正确性，求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方
)0a =>。 3、 例 求下列各式的值： （1）364； （2）327
102； （3）31000
1-
；
三、应用迁移 巩固提高
课本51 练习1 四、小结：
1.立方根和开立方的定义．
2.正数、0、负数的立方根的特征．
3.立方根与平方根的异同． 五、作业：
P51习题 第1、2、3题。 六、教学反思：
立方根（2）
教学目标：
知识与技能：进一步了解立方根的概念，并能熟练地进行求一个数的立方根的运
算.
过程与方法：1、能用有理数估计一个无理数的大致范围. 2、利用计算器来求一个数的立方根.情感态度与价值观：使学生形成估算的意识，培养学生的估算能力。
1、使学生进一步理解立方根的概念，并能熟练地进行求一个数的立方根的运算.
2、能用有理数估计一个无理数的大致范围，使学生形成估算的意识，培养学生的估算能力。
教学重点：
用有理数估计一个无理的大致范围。 教学难点：
用有理数估计一个无理的大致范围。 教学过程
一、创设情境 导入新课
1、求下列各式的值
3
27
102
-；()33
1.0--；()2
5-
二、合作交流 解读探究
1、问题：350有多大呢？
因为2733=，6443= 所以45033<<
因为656.466.33=，653.507.33= 所以7.3506.33<<
因为836032.4968.33=，24349.5069.33= 所以69.35068.33<< ……
如此循环下去，可以得到更精确的350的近似值，它是一个无限不循环小数，
3
50
=一3．684 031 49……事实上，很多有理数的立方根都是无限不循环小数．我
们用有理数近似地表示它们．
2、、利用计算器来求一个数的立方根：
操作 用计算器求数的立方根的步骤及方法：用计算器求立方根和求平方根的步骤相同，只是根指数不同。
→ 被开方数 → = → 根据显示写出立方根.
例：求－5的立方根（保留三个有效数字）
→被开方数→ = → 1.709975947
所以 1.71
≈-
三、应用迁移巩固提高
1、课本P51的练习2.
2、利用计算器计算，并将计算结果填在表中，你发现了什么吗？你能说说其中的道理吗？3、
30001
.0，31.0，3100000的近似值。
四、小结：
1、立方根的概念和性质。
2、用计算器来求一个数的立方根。
五、作业：
P52习题第4、8题
六、教学反思：
实数（1）
教学目标：
知识与技能：
①了解无理数和实数的概念以及实数的分类；
②知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系。
过程与方法：
在数的开方的基础上引进无理数的概念，并将数从有理数的范围扩充到实数的范围，从而总结出实数的分类，接着把无理数在数轴上表示出来，从而得到实数与数轴上的点是一一对应的关系。情感态度与价值观：
① 通过了解数系扩充体会数系扩充对人类发展的作用；
② 敢于面对数学活动中的困难，并能有意识地运用已有知识解决新问 题。
教学重点：
① 了解无理数和实数的概念；
② 对实数进行分类。
教学难点：对无理数的认识。
教学过程
一、创设情境 导入新课
使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？
3 ， 35- ，478 ，911 ，119 ，5
9 我们发现，上面的有理数都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式，即 3 3.0= ，3
0.65-=- ，47
5.8758= ，9
0.8111= ，11 1.29= ，50.59= 二、合作交流 解读探究
【归纳】 任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。
【观察】通过前面的探讨和学习，我们知道，很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数，无限不循环小数又叫无理数， 3.14159265π= 也是无理数。【结论】 有理数和无理数统称为实数。
【试一试】 把实数分类：
⎧
⎧⎫⎨⎬⎪⎨
⎩⎭⎪→⎩整数有理数有限小数或无限循环小数实数分数无理数无限不循环小数
像有理数一样，无理数也有正负之分。
π
是正无理数，，π-是负无理数。由于非0有理数和无理数都有正负之分，所以实数也可
以这样分类： 0
⎧
⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪
⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正实数
正无理数实数负有理数负实数负无理数
我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示。无理数是否也可以用数
轴上的点来表示呢？
【探究】如图6.3-1所示，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O ′，点O ′的坐标是多少？
从图中可以看出OO ′的长时这个圆的周长π，点O ′的坐标是π，这样，无理数π可以用数轴上的点表示出来。
【结论】
1、事实上，每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来，这就是说，数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数
当从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数。
2、与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大。
【讨论】当数从有理数扩充到实数以后，有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数吗？
【结论】
数a 的相反数是a -，这里a 表示任意一个实数。一个正实数的绝对值是本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
三、应用迁移 巩固提高
【例1】把下列各数分别填入相应的集合里：
22
7
3.141,,,,0.1010010001,1.414,0.020202,378π--- 正有理数{ } 负有理数{ } 正无理数{ } 负无理数{ }
【例2】求下列各数的相反数和绝对值：
2.5，－7，5π-
，0，32，π－3
【练习】课本Р56 练习1、2、3题
四、小结
这节课你有什么新发现？知道了哪些新知识？
1、什么叫做无理数？
2、什么叫做有理数？3、有理数和数轴上的点一一对应吗？
4、无理数和数轴上的点一一对应吗？
5、实数和数轴上的点一一对应吗？
无理数的特征:
1．圆周率π及一些含有π的数
2．开不尽方的数
3．无限不循环小数
注意：带根号的数不一定是无理数。
五、作业：P57 1、2、3
六、教学反思
实数（2）
教学目标：
知识与技能：
①掌握实数的相反数和绝对值；
②掌握实数的运算律和运算性质.
过程与方法：
通过复习有理数的相反数、绝对值、运算律、运算性质，引出实数的相反数、绝对值、运算律、运算性质，并通过例题和练习题加以巩固，适当加深对它们的认识。
情感态度与价值观：
通过建立有理数的一些概念和运算在实数范围里也成立的意识，让学生了解在这种数的扩充中所体现的一致性，让学生充分感受数的不断发展。教学重点：
实数的运算法则及运算律。
教学难点：
准确地进行实数范围内的运算。
教学过程
一、创设情境导入新课
【问题1】
①利用数轴，我们怎样比较两个有理数的大小？
在数轴上表示的数，右边的数总比左边的大。这个结论在实数范围内也成立。
②我们还有什么方法可以比较两个实数的大小吗？
两个正实数的绝对值较大的值也较大；两个负实数的绝对值大的值反而小；正数大于零，负数小于零，正数大于负数。
二、合作交流解读探究
【问题2】比较下列各组数里两个数的大小：
（1）2，1.4；（2）－5，－6；（3）－2，33
分析：像例1（1），即可以将2，1．4的大小比较转化为2，96
.1的大小比较；也可以先求出2的近似值，再通过比较它们近似值（取近似值时，注意精确度要相同）的大小，从而比较它们的大小。
【问题3】在数从有理数扩充到实数后，我们已经学过哪些运算？
答：加、减、乘、除、乘方和开方运算。接着问：有哪些规定吗？
除法运算中除数不为0，而且只有正数及0可以进行开平方运算，任何一个实数都可以进行开立方运算。
问：有理数满足哪些运算律？
加法交换律：a+b＝b+a
加法结合律：（a+b）+c＝a+（b+c）
乘法交换律：ab＝ba
乘法结合律：（ab）c＝a（bc）
分配律：a（b+c）＝ab+ac
我们如何知道运算律在实数范围内是否适用？
三、应用迁移巩固提高
【例1】计算下列各式的值：（1）+-；（2）
（3）；（4
）
（5）（6
实数范围内的运算方法及运算顺序与在有理数范围内都是一样的。
【例2】利用计算器计算（结果保留小数点后两位）（1π；（2）
在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算。
练习：
课本P56练习第4 题
四、小结：
1、用近似有限小数代替无理数，再进行计算。
2、会比较两个实数的大小；能熟练地进行实数运算。
五、作业：P57 4、5、6六、教学反思：
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