线性代数期末复习知识点考点总结 线性代数重点知识点总结

        线性代数必考的知识点

        1、行列式1.n行列式共有2n个元素，展开后有!n项，可分解为2n行列式；2.代数余子式的性质：①、ijA和ija的大小无关；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A；3.代数余子式和余子式的关系：

        (1)

        (1)ijijijijijijMAAM++=-=-4.设n行列式D：将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D，则

        (1)21

        (1)nnDD-=-；将D顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为2D，则

        (1)22

        (1)nnDD-=-；将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D，则3DD=；将D主副角线翻转后，所得行列式为4D，则4DD=；5.行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；②、副对角行列式：副对角元素的乘积

        (1)2

        (1)nn-⨯-；③、上、下三角行列式（=◥◣）：主对角元素的乘积；④、◤和◢：副对角元素的乘积

        (1)2

        (1)nn-⨯-；⑤、拉普拉斯展开式：AOACABCBOB==、

        (1)mnCAOAABBOBC==-⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；⑦、特征值；6.对于n阶行列式A，恒有：1

        (1)nnknkkkEASλλλ-=-=+-∑，其中kS为k阶主子式；7.证明0A=的方法：①、AA=-；②、反证法；③、构造齐次方程组0Ax=，证明其有非零解；④、利用秩，证明()rAn<；⑤、证明0是其特征值；

        2、矩阵1.A是n阶可逆矩阵：⇔0A≠（是非奇异矩阵）；⇔()rAn=（是满秩矩阵）⇔A的行（列）向量组线性无关；⇔齐次方程组0Ax=有非零解；⇔nbR∀∈，Axb=总有唯一解；⇔A与E等价；⇔A可表示成若干个初等矩阵的乘积；⇔A的特征值全不为0；⇔TAA是正定矩阵；⇔A的行（列）向量组是nR的一组基；⇔A是nR中某两组基的过渡矩阵；2.对于n阶矩阵A：**AAAAAE==无条件恒成立；3.1**111**()()()()()()TTTTAAAAAA----===***111()()()TTTABBAABBAABBA---===4.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5.关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：若12sAAAA⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎝⎭，则：Ⅰ、12sAAAA=；Ⅱ、111121sAAAA----⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎪⎝⎭；②、111AOAOOBOB---⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（主对角分块）③、111OAOBBOAO---⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（副对角分块）④、11111ACAACBOBOB-----⎛⎫-⎛⎫=⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯）⑤、11111AOAOCBBCAB-----⎛⎫⎛⎫=⎪⎪-⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯）

        3、矩阵的初等变换与线性方程组1.一个mn⨯矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：rmnEOFOO⨯⎛⎫=⎪⎝⎭；等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A、B，若()()rArBAB=⇔；2.行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3.初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）①、若(,)(,)rAEEX，则A可逆，且1XA-=；②、对矩阵(,)AB做初等行变化，当A变为E时，B就变成1AB-，即：1(,)(,)cABEAB-~；③、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Axb=，如果(,)(,)rAbEx，则A可逆，且1xAb-=；4.初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；②、12n⎛⎫⎪⎪Λ=⎪⎪⎝⎭λλλ，左乘矩阵A，iλ乘A的各行元素；右乘，iλ乘A的各列元素；③、对调两行或两列，符号(,)Eij，且1(,)(,)EijEij-=，例如：1111111-⎛⎫⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭；④、倍乘某行或某列，符号(())Eik，且11(())(())EikEik-=，例如：1111

        (0)11kkk-⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪=≠⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭；⑤、倍加某行或某列，符号(())Eijk，且1(())(())EijkEijk-=-，如：11111

        (0)11kkk--⎛⎫⎛⎫⎪⎪=≠⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭；5.矩阵秩的基本性质：①、0()min(,)mnrAmn⨯≤≤；②、()()TrArA=；③、若AB，则()()rArB=；④、若P、Q可逆，则()()()()rArPArAQrPAQ===；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）⑤、max((),())(,)()()rArBrABrArB≤≤+；（※）⑥、()()()rABrArB+≤+；（※）⑦、()min((),())rABrArB≤；（※）⑧、如果A是mn⨯矩阵，B是ns⨯矩阵，且0AB=，则：（※）Ⅰ、B的列向量全部是齐次方程组0AX=解（转置运算后的结论）；Ⅱ、()()rArBn+≤⑨、若A、B均为n阶方阵，则()()()rABrArBn≥+-；6.三种特殊矩阵的方幂：①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）⨯行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；②、型如101001acb⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭的矩阵：利用二项展开式；二项展开式：01111110()nnnnmnmmnnnnmmnmnnnnnnmabCaCabCabCabCbCab-----=+=++++++=∑；注：Ⅰ、()nab+展开后有1n+项；Ⅱ、0

        (1)

        (1)!1123!()!--+====-mnnnnnnnmnCCCmmnmⅢ、组合的性质：111102---+-===+==∑nmnmmmmrnrrnnnnnnnnrCCCCCCrCnC；③、利用特征值和相似对角化：7.伴随矩阵：①、伴随矩阵的秩：*()()1()10()1nrAnrArAnrAn=⎧⎪==-⎨⎪<-⎩；②、伴随矩阵的特征值：*1*(,)AAAXXAAAAXXλλλ-==⇒=；③、*1AAA-=、1*nAA-=8.关于A矩阵秩的描述：①、()rAn=，A中有n阶子式不为0，1n+阶子式全部为0；（两句话）②、()rAn<，A中有n阶子式全部为0；③、()rAn≥，A中有n阶子式不为0；9.线性方程组：Axb=，其中A为mn⨯矩阵，则：①、m与方程的个数相同，即方程组Axb=有m个方程；②、n与方程组得未知数个数相同，方程组Axb=为n元方程；10.线性方程组Axb=的求解：①、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）；②、齐次解为对应齐次方程组的解；③、特解：自由变量赋初值后求得；11.由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程：①、11112211211222221122nnnnmmnmnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩；②、1112111212222212nnmmmnmmaaaxbaaaxbAxbaaaxb⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⇔=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（向量方程，A为mn⨯矩阵，m个方程，n个未知数）③、()1212nnxxaaaxβ⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎝⎭（全部按列分块，其中12nbbbβ⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎝⎭）；④、1122nnaxaxaxβ+++=（线性表出）⑤、有解的充要条件：()(,)rArAnβ=≤（n为未知数的个数或维数）

        4、向量组的线性相关性1.m个n维列向量所组成的向量组A：12,,,mααα构成nm⨯矩阵12(,,,)mA=ααα；m个n维行向量所组成的向量组B：12,,,TTTmβββ构成mn⨯矩阵12TTTmBβββ⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎪⎝⎭；含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2.①、向量组的线性相关、无关0Ax⇔=有、无非零解；（齐次线性方程组）②、向量的线性表出Axb⇔=是否有解；（线性方程组）③、向量组的相互线性表示AXB⇔=是否有解；（矩阵方程）3.矩阵mnA⨯与lnB⨯行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组0Ax=和0Bx=同解；(101P例14)4.()()TrAArA=；(101P例15)5.n维向量线性相关的几何意义：①、α线性相关⇔0α=；②、,αβ线性相关⇔,αβ坐标成比例或共线（平行）；③、,,αβγ线性相关⇔,,αβγ共面；6.线性相关与无关的两套定理：若12,,,sααα线性相关，则121,,,,ssαααα+必线性相关；若12,,,sααα线性无关，则121,,,sααα-必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r维向量组A的每个向量上添上nr-个分量，构成n维向量组B：若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7.向量组A（个数为r）能由向量组B（个数为s）线性表示，且A线性无关，则rs≤；向量组A能由向量组B线性表示，则()()rArB≤；向量组A能由向量组B线性表示AXB⇔=有解；()(,)rArAB⇔=向量组A能由向量组B等价()()(,)rArBrAB⇔==8.方阵A可逆⇔存在有限个初等矩阵12,,,lPPP，使12lAPPP=；①、矩阵行等价：~rABPAB⇔=（左乘，P可逆）0Ax⇔=与0Bx=同解②、矩阵列等价：~cABAQB⇔=（右乘，Q可逆）；③、矩阵等价：~ABPAQB⇔=（P、Q可逆）；9.对于矩阵mnA⨯与lnB⨯：①、若A与B行等价，则A与B的行秩相等；②、若A与B行等价，则0Ax=与0Bx=同解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；④、矩阵A的行秩等于列秩；10.若mssnmnABC⨯⨯⨯=，则：①、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵；②、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，TA为系数矩阵；（转置）11.齐次方程组0Bx=的解一定是0ABx=的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；①、0ABx=只有零解0Bx⇒=只有零解；②、0Bx=有非零解0ABx⇒=一定存在非零解；12.设向量组12:,,,nrrBbbb⨯可由向量组12:,,,nssAaaa⨯线性表示为：1212(,,,)(,,,)rsbbbaaaK=（BAK=）其中K为sr⨯，且A线性无关，则B组线性无关()rKr⇔=；（B与K的列向量组具有相同线性相关性）（必要性：()()(),(),()rrBrAKrKrKrrKr==≤≤∴=；充分性：反证法）注：当rs=时，K为方阵，可当作定理使用；13.①、对矩阵mnA⨯，存在nmQ⨯，mAQE=()rAm⇔=、Q的列向量线性无关；②、对矩阵mnA⨯，存在nmP⨯，nPAE=()rAn⇔=、P的行向量线性无关；14.12,,,sααα线性相关⇔存在一组不全为0的数12,,,skkk，使得11220sskkkααα+++=成立；（定义）⇔1212(,,,)0ssxxxααα⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎝⎭有非零解，即0Ax=有非零解；⇔12(,,,)srsααα<，系数矩阵的秩小于未知数的个数；15.设mn⨯的矩阵A的秩为r，则n元齐次线性方程组0Ax=的解集S的秩为：()rSnr=-；16.若*η为Axb=的一个解，12,,,nrξξξ-为0Ax=的一个基础解系，则*12,,,,nrηξξξ-线性无关；

        5、相似矩阵和二次型1.正交矩阵TAAE⇔=或1TAA-=（定义），性质：①、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即1(,1,2,)0Tijijaaijnij=⎧==⎨≠⎩；②、若A为正交矩阵，则1TAA-=也为正交阵，且1A=±；③、若A、B正交阵，则AB也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；2.施密特正交化：12(,,,)raaa11ba=；1222111[,][,]bababbb=-121121112211[,][,][,][,][,][,]rrrrrrrrrbababababbbbbbbbb----=----;3.对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；4.①、A与B等价⇔A经过初等变换得到B；⇔=PAQB，P、Q可逆；()()⇔=rArB，A、B同型；②、A与B合同⇔=TCACB，其中可逆；⇔TxAx与TxBx有相同的正、负惯性指数；③、A与B相似1-⇔=PAPB；5.相似一定合同、合同未必相似；若C为正交矩阵，则TCACB=⇒AB，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；6.A为对称阵，则A为二次型矩阵；7.n元二次型TxAx为正定：A⇔的正惯性指数为n；A⇔与E合同，即存在可逆矩阵C，使TCACE=；A⇔的所有特征值均为正数；A⇔的各阶顺序主子式均大于0；0,0iiaA⇒>>；(必要条件)