线性代数知识点总结 线性代数知识点总结归纳

        线性代数知识点总结线性代数知识点总结篇1知识点8：矩阵的乘法运算及运算律知识点9：计算方阵的幂知识点10：转置矩阵及运算律知识点11：伴随矩阵及其性质知识点12：逆矩阵及运算律知识点13：矩阵可逆的判断知识点14：方阵的行列式运算及特殊类型的矩阵的运算知识点15：矩阵方程的求解知识点16：初等变换的概念及其应用知识点17：初等方阵的概念知识点18：初等变换与初等方阵的关系知识点19：等价矩阵的概念与判断知识点20：矩阵的子式与最高阶非零子式知识点21：矩阵的秩的概念与判断知识点22：矩阵的秩的性质与定理知识点23：分块矩阵的概念与运算、特殊分块阵的运算知识点24：矩阵分块在解题中的技巧举例知识点27：向量组之间的线性表示及等价知识点28：向量组线性相关与线性无关的概念知识点29：线性表示与线性相关性的关系知识点30：线性相关性的判别法知识点31：向量组的最大线性无关组和向量组的秩的概念知识点32：矩阵的秩与向量组的秩的关系知识点33：求向量组的最大无关组知识点34：有关向量组的定理的综合运用知识点35：内积的概念及性质知识点36：正交向量组、正交阵及其性质知识点37：向量组的正交规范化、施密特正交化方法知识点38：向量空间（数一）知识点39：基变换与过渡矩阵（数一）知识点40：基变换下的坐标变换（数一）知识点45：线性方程组的公共解、同解知识点46：方程组、矩阵方程与矩阵的乘法运算的关系知识点47：方程组、矩阵与向量之间的联系及其解题技巧举例知识点53：利用相似对角化求矩阵和矩阵的幂

        一、行列式概念和性质

        1、逆序数：所有的逆序的总数

        2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和

        3、行列式性质：（用于化简行列式）

        （1）行列互换（转置），行列式的值不变

        （2）两行（列）互换，行列式变号

        （3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式

        （4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。

        （5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。

        （6）两行成比例，行列式的值为0。

        二、重要行列式

        1、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积

        2、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘

        3、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则

        4、n阶（n≥2）范德蒙德行列式

        四、矩阵的秩

        1、秩的定义：非零子式的最高阶数注：

        （1）r（A）=0意味着所有元素为0，即A=O

        （2）r（An某n）=n（满秩）←→|A|≠0←→A可逆；r（A）＜n←→|A|=0←→A不可逆；

        （3）r（A）=r（r=

        1、

        2、…、n-1）←→r阶子式非零且所有r+1子式均为0。

        2、秩的求法：

        （1）A为抽象矩阵：由定义或性质求解；

        （2）A为数字矩阵：A→初等行变换→阶梯型（每行

        五、伴随矩阵

        六、分块矩阵

        1、分块矩阵的乘法：要求前列后行分法相同。

        2、分块矩阵求逆：向量

        一、向量的概念及运算

        1、长度定义：||α||=

        二、线性组合和线性表示

        1、线性表示的充要条件：非零列向量β可由α1，α2，…，αs线性表示

        (1)←→非齐次线性方程组（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=β有解。

        （3）←→r（α1，α2，…，αs）＜s即秩小于个数

        3、线性相关的充分条件：

        （1）向量组含有零向量或成比例的向量必相关

        （4）以少表多，多必相关

        （2）秩：若小于阶数，线性相关；若等于阶数，线性无关

        四、极大线性无关组与向量组的秩

        1、极大线性无关组不唯一

        2、向量组的秩:极大无关组中向量的个数成为向量组的秩对比：矩阵的秩:非零子式的最高阶数

        3、极大线性无关组的求法

        （1）α1，α2，…，αs为抽象的：定义法

        （2）α1，α2，…，αs为数字的：（α1，α2，…，αs）→初等行变换→阶梯型矩阵则每行设α1，α2，α3线性无关

        （1）正交化令β1=α1

        （2）单位化线性方程组

        一、解的判定与性质

        1、齐次方程组：

        （1）只有零解←→r（A）=n（n为A的列数或是未知数x的个数）

        （2）有非零解←→r（A）＜n

        2、非齐次方程组：

        （1）无解←→r（A）＜r（A|b）←→r（A）=r（A）-1

        （2）唯一解←→r（A）=r（A|b）=n

        （3）无穷多解←→r（A）=r（A|b）＜n

        3、解的性质：

        （1）若ξ1，ξ2是Ax=0的解，则k1ξ1+k2ξ2是Ax=0的解

        （2）若ξ是Ax=0的解，η是Ax=b的解，则ξ+η是Ax=b的解

        （3）若η1，η2是Ax=b的解，则η1-η2是Ax=0的解

        二、基础解系

        （2）正交变换法：

        二、惯性定理及规范形

        1、定义：正惯性指数：标准形中正平方项的个数称为正惯性指数，记为p；负惯性指数：标准形中负平方项的个数称为负惯性指数，记为q；

        2、惯性定理：二次型无论选取怎样的可逆线性变换为标准形，其正负惯性指数不变。注：

        （1）由于正负惯性指数不变，所以规范形唯一。

        （2）p=正特征值的个数，q=负特征值的个数，p+q=非零特征值的个数=r（A）

        三、合同矩阵

        1、定义：A、B均为n阶实对称矩阵，若存在可逆矩阵C，使得B=CTAC，称A与B合同△

        2、总结：n阶实对称矩阵A、B的关系

        （1）A、B相似（B=P-1AP）←→相同的特征值

        （2）A、B合同（B=CTAC）←→相同的正负惯性指数←→相同的正负特征值的个数

        （3）A、B等价（B=PAQ）←→r（A）=r（B）注：实对称矩阵相似必合同，合同必等价

        四、正定二次型与正定矩阵

        1、正定的定义二次型xTAx，如果任意x≠0，恒有xTAx＞0，则称二次型正定，并称实对称矩阵A是正定矩阵。

        2、n元二次型xTAx正定充要条件：

        （1）A的正惯性指数为n

        （2）A与E合同，即存在可逆矩阵C，使得A=CTC或CTAC=E

        （3）A的特征值均大于0

        （4）A的顺序主子式均大于0（k阶顺序主子式为前k行前k列的行列式）

        3、总结：二次型正定判定（大题）

        （1）A为数字：顺序主子式均大于0

        （2）A为抽象：①证A为实对称矩阵：AT=A；②再由定义或特征值判定

        4、重要结论：

        （1）若A是正定矩阵，则kA（k＞0），Ak，AT，A-1，A某正定

        （2）若A、B均为正定矩阵，则A+B正定