线性代数知识点总结汇总 线性代数重点知识点总结

        线性代数知识点总结1行列式

        （一）行列式概念和性质

        1、逆序数：所有的逆序的总数

        2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和

        3、行列式性质：（用于化简行列式）

        （1）行列互换（转置），行列式的值不变

        （2）两行（列）互换，行列式变号

        （3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式

        （4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。

        （5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。

        （6）两行成比例，行列式的值为0。

        （二）重要行列式

        4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积

        5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘

        6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则

        7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式数学归纳法证明★

        8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值：

        （三）按行（列）展开

        9、按行展开定理：

        （1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值

        （2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0

        （四）行列式公式

        10、行列式七大公式：

        （1）|kA|=kn|A|

        （2）|AB|=|A|·|B|

        （3）|AT|=|A|

        （4）|A-1|=|A|-1

        （5）|A*|=|A|n-1

        （6）若A的特征值λ

        1、λ

        2、……λn，则

        （7）若A与B相似，则|A|=|B|

        （五）克莱姆法则

        11、克莱姆法则：

        （1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解

        （2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0

        （3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。2矩阵

        （一）矩阵的运算

        1、矩阵乘法注意事项：

        （1）矩阵乘法要求前列后行一致；

        （2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律）

        （3）AB=O不能推出A=O或B=O。

        2、转置的性质（5条）

        （1）（A+B）T=AT+BT

        （2）（kA）T=kAT

        （3）（AB）T=BTAT

        （4）|A|T=|A|

        （5）（AT）T=A

        （二）矩阵的逆

        3、逆的定义：AB=E或BA=E成立，称A可逆，B是A的逆矩阵，记为B=A-1注：A可逆的充要条件是|A|≠

        04、逆的性质：（5条）

        （1）（kA）-1=1/k·A-1(k≠0)

        （2）（AB）-1=B-1·A-1

        （3）|A-1|=|A|-1

        （4）（AT）-1=（A-1）T

        （5）（A-1）-1=A

        5、逆的求法：

        （1）A为抽象矩阵：由定义或性质求解

        （2）A为数字矩阵：（A|E）初等行变换（E|A-1）

        （三）矩阵的初等变换

        6、初等行（列）变换定义：

        （1）两行（列）互换；

        （2）一行（列）乘非零常数c

        （3）一行（列）乘k加到另一行（列）

        7、初等矩阵：单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵。

        8、初等变换与初等矩阵的性质：

        （1）初等行（列）变换相当于左（右）乘相应的初等矩阵

        （2）初等矩阵均为可逆矩阵，且Eij-1=Eij（i，j两行互换）；Ei-1（c）=Ei（1/c）（

        （3）r（A）=r（r=

        1、

        2、…、n-1）r阶子式非零且所有r+1子式均为0。

        10、秩的性质：（7条）

        （1）A为m×n阶矩阵，则r（A）≤min（m,n）

        （2）r（A±B）≤r（A）±（B）

        （3）r（AB）≤min{r（A），r（B）}

        （4）r（kA）=r（A）（k≠0）

        （5）r（A）=r（AC）（C是一个可逆矩阵）

        （6）r（A）=r（AT）=r（ATA）=r（AAT）

        （7）设A是m×n阶矩阵，B是n×s矩阵，AB=O，则r（A）+r（B）≤n

        11、秩的求法：

        （1）A为抽象矩阵：由定义或性质求解；

        （2）A为数字矩阵：A初等行变换阶梯型（每行

        （5）（AT）*=（A*）T

        （6）（A-1）*=（A*）-1=A|A|-1

        （7）（A*）*=|A|n-2·A★

        （8）r（A*）=n（r（A）=n）；r（A*）=1（r（A）=n-1）；r（A*）=0（r（A）＜n-1）

        （六）分块矩阵

        13、分块矩阵的乘法：要求前列后行分法相同。

        14、分块矩阵求逆：3向量

        （一）向量的概念及运算

        1、向量的内积：（α，β）=αTβ=βTα

        2、长度定义：||α||=

        3、正交定义：（α，β）=αTβ=βTα=a1b1+a2b2+…+anbn=

        04、正交矩阵的定义：A为n阶矩阵，AAT=EA-1=ATATA=E|A|=±1

        （二）线性组合和线性表示

        5、线性表示的充要条件：非零列向量β可由α1，α2，…，αs线性表示

        (1)非齐次线性方程组（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=β有解。

        (2)r（α1，α2，…，αs）=r（α1，α2，…，αs，β）（系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，用于大题（α1，α2，…，αs|β）初等行变换（行最简形|系数）行最简形：每行

        （2）齐次方程（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=0有非零解；

        （3）r（α1，α2，…，αs）＜s即秩小于个数特别地，n个n维列向量α1，α2，…，αn线性相关

        （1）r（α1，α2，…，αn）＜n

        （2）|α1，α2，…，αn|=0

        （3）（α1，α2，…，αn）不可逆

        10、线性相关的充分条件：

        （1）向量组含有零向量或成比例的向量必相关

        （2）部分相关，则整体相关

        （3）高维相关，则低维相关

        （4）以少表多，多必相关推论：n+1个n维向量一定线性相关

        11、线性无关的充要条件向量组α1，α2，…，αs线性无关

        （1）任意向量均不能由其余向量线性表示；

        （2）齐次方程（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=0只有零解

        （3）r（α1，α2，…，αs）=s特别地，n个n维向量α1，α2，…，αn线性无关r（α1，α2，…，αn）=n|α1，α2，…，αn|≠0矩阵可逆

        12、线性无关的充分条件：

        （1）整体无关，部分无关

        （2）低维无关，高维无关

        （3）正交的非零向量组线性无关

        （4）不同特征值的特征向量无关

        13、线性相关、线性无关判定

        （1）定义法

        （2）秩：若小于阶数，线性相关；若等于阶数，线性无关【专业知识补充】

        （1）在矩阵左边乘列满秩矩阵（秩=列数），矩阵的秩不变；在矩阵右边乘行满秩矩阵，矩阵的秩不变。

        （2）若n维列向量α1，α2，α3线性无关，β1，β2，β3可以由其线性表示，即（β1，β2，β3）=（α1，α2，α3）C，则r（β1，β2，β3）=r（C），从而线性无关。r（β1，β2，β3）=3r（C）=3|C|≠0

        （四）极大线性无关组与向量组的秩

        14、极大线性无关组不唯一

        15、向量组的秩:极大无关组中向量的个数成为向量组的秩对比：矩阵的秩:非零子式的最高阶数注:向量组α1，α2，…，αs的秩与矩阵A=（α1，α2，…，αs）的秩相等

        16、极大线性无关组的求法

        （1）α1，α2，…，αs为抽象的：定义法

        （2）α1，α2，…，αs为数字的：（α1，α2，…，αs）初等行变换阶梯型矩阵则每行量空间V的两组基，则基变换公式为（β1，β2，…，βn）=（α1，α2，…，αn）Cn×n其中，C是从基α1，α2，…，αn到β1，β2，…，βn的过渡矩阵。

        C=（α1，α2，…，αn）-1（β1，β2，…，βn）

        18、坐标变换公式：向量γ在基α1，α2，…，αn与基β1，β2，…，βn的坐标分别为x=（x1，x2，…，xn）T，y=（y1，y2，…，yn）T，，即γ=x1α1+x2α2+…+xnαn=y1β1+y2β2+…+ynβn，则坐标变换公式为x=Cy或y=C-1x。其中，C是从基α1，α2，…，αn到β1，β2，…，βn的过渡矩阵。C=（α1，α2，…，αn）-1（β1，β2，…，βn）

        （六）Schmidt正交化

        19、Schmidt正交化设α1，α2，α3线性无关

        （1）正交化令β1=α1

        （2）单位化4线性方程组

        （一）方程组的表达形与解向量

        1、解的形式：

        (1)一般形式

        (2)矩阵形式：Ax=b；

        (3)向量形式：A=（α1，α2，…，αn）

        2、解的定义：若η=（c1，c2，…，cn）T满足方程组Ax=b，即Aη=b，称η是Ax=b的一个解（向量）

        （二）解的判定与性质

        3、齐次方程组：

        （1）只有零解r（A）=n（n为A的列数或是未知数x的个数）

        （2）有非零解r（A）＜n

        4、非齐次方程组：

        （1）无解r（A）＜r（A|b）r（A）=r（A）-1

        （2）唯一解r（A）=r（A|b）=n

        （3）无穷多解r（A）=r（A|b）＜n

        5、解的性质：

        （1）若ξ1，ξ2是Ax=0的解，则k1ξ1+k2ξ2是Ax=0的解

        （2）若ξ是Ax=0的解，η是Ax=b的解，则ξ+η是Ax=b的解

        （3）若η1，η2是Ax=b的解，则η1-η2是Ax=0的解【推广】

        （1）设η1，η2，…，ηs是Ax=b的解，则k1η1+k2η2+…+ksηs为Ax=b的解（当Σki=1）Ax=0的解（当Σki=0）

        （2）设η1，η2，…，ηs是Ax=b的s个线性无关的解，则η2-η1，η3-η1，…，ηs-η1为Ax=0的s-1个线性无关的解。

        变式：η1-η2，η3-η2，…，ηs-η2η2-η1，η3-η2，…，ηs-ηs-1

        （三）基础解系

        6、基础解系定义：

        （1）ξ1，ξ2，…，ξs是Ax=0的解

        （2）ξ1，ξ2，…，ξs线性相关

        （3）Ax=0的所有解均可由其线性表示基础解系即所有解的极大无关组注：基础解系不唯一。任意n-r（A）个线性无关的解均可作为基础解系。

        7、重要结论：（证明也很重要）设A施m×n阶矩阵，B是n×s阶矩阵，AB=O

        （1）B的列向量均为方程Ax=0的解

        （2）r（A）+r（B）≤n（

        （1）A为抽象的：由定义或性质凑n-r（A）个线性无关的解

        （2）A为数字的：A初等行变换阶梯型自由未知量分别取1,0,0；0,1,0；0,0,1；代入解得非自由未知量得到基础解系

        （四）解的结构（通解）

        9、齐次线性方程组的通解（所有解）设r（A）=r，ξ1，ξ2，…，ξn-r为Ax=0的基础解系，则Ax=0的通解为k1η1+k2η2+…+kn-rηn-r（其中k1，k2，…，kn-r为任意常数）

        10、非齐次线性方程组的通解设r（A）=r，ξ1，ξ2，…，ξn-r为Ax=0的基础解系，η为Ax=b的特解，则Ax=b的通解为η+k1η1+k2η2+…+kn-rηn-r（其中k1，k2，…，kn-r为任意常数）

        （五）公共解与同解

        11、公共解定义：如果α既是方程组Ax=0的解，又是方程组Bx=0的解，则称α为其公共解

        12、非零公共解的充要条件：方程组Ax=0与Bx=0有非零公共解有非零解

        13、重要结论（需要掌握证明）

        （1）设A是m×n阶矩阵，则齐次方程ATAx=0与Ax=0同解，r（ATA）=r（A）

        （2）设A是m×n阶矩阵，r（A）=n，B是n×s阶矩阵，则齐次方程ABx=0与Bx=0同解，r（AB）=r（B）5特征值与特征向量

        （一）矩阵的特征值与特征向量

        1、特征值、特征向量的定义：设A为n阶矩阵，如果存在数λ及非零列向量α，使得Aα=λα，称α是矩阵A属于特征值λ的特征向量。

        2、特征多项式、特征方程的定义：|λE-A|称为矩阵A的特征多项式（λ的n次多项式）。|λE-A|=0称为矩阵A的特征方程（λ的n次方程）。注:特征方程可以写为|A-λE|=

        03、重要结论：

        （1）若α为齐次方程Ax=0的非零解，则Aα=0·α，即α为矩阵A特征值λ=0的特征向量

        （2）A的各行元素和为k，则(1，1，…，1)T为特征值为k的特征向量。

        （3）上（下）三角或主对角的矩阵的特征值为主对角线各元素。

        4、总结：特征值与特征向量的求法

        （1）A为抽象的：由定义或性质凑

        （2）A为数字的：由特征方程法求解

        5、特征方程法：

        （1）解特征方程|λE-A|=0，得矩阵A的n个特征值λ1，λ2，…，λn注：n次方程必须有n个根(可有多重根，写作λ1=λ2=…=λs=实数，不能省略)

        （2）解齐次方程（λiE-A）=0，得属于特征值λi的线性无关的特征向量，即其基础解系（共n-r（λiE-A）个解）

        6、性质：

        （1）不同特征值的特征向量线性无关

        （2）k重特征值最多k个线性无关的特征向量1≤n-r（λiE-A）≤ki

        （3）设A的特征值为λ1，λ2，…，λn，则|A|=Πλi，Σλi=Σaii

        （4）当r（A）=1，即A=αβT，其中α，β均为n维非零列向量，则A的特征值为λ1=Σaii=αTβ=βTα，λ2=…=λn=0

        （5）设α是矩阵A属于特征值λ的特征向量，则Af（A）ATA-1A*P-1AP（相似）λf（λ）λλ-1|A|λ-1λαα/ααP-1α

        （二）相似矩阵

        7、相似矩阵的定义：设A、B均为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P使得B=P-1AP，称A与B相似，记作A~B

        8、相似矩阵的性质

        （1）若A与B相似，则f（A）与f（B）相似

        （2）若A与B相似，B与C相似，则A与C相似

        （3）相似矩阵有相同的行列式、秩、特征多项式、特征方程、特征值、迹（即主对角线元素之和）【推广】

        （4）若A与B相似，则AB与BA相似，AT与BT相似，A-1与B-1相似，A*与B*也相似

        （三）矩阵的相似对角化

        9、相似对角化定义：如果A与对角矩阵相似，即存在可逆矩阵P，使得P-1AP=Λ=，称A可相似对角化。注：Aαi=λiαi（αi≠0，由于P可逆），故P的每一列均为矩阵A的特征值λi的特征向量

        10、相似对角化的充要条件

        （1）A有n个线性无关的特征向量

        （2）A的k重特征值有k个线性无关的特征向量

        11、相似对角化的充分条件：

        （1）A有n个不同的特征值（不同特征值的特征向量线性无关）

        （2）A为实对称矩阵

        12、重要结论：

        （1）若A可相似对角化，则r（A）为非零特征值的个数，n-r（A）为零特征值的个数

        （2）若A不可相似对角化，r（A）不一定为非零特征值的个数

        （四）实对称矩阵

        13、性质

        （1）特征值全为实数

        （2）不同特征值的特征向量正交

        （3）A可相似对角化，即存在可逆矩阵P使得P-1AP=Λ

        （4）A可正交相似对角化，即存在正交矩阵Q，使得Q-1AQ=QTAQ=Λ6二次型

        （一）二次型及其标准形

        1、二次型：

        （1）一般形式

        （2）矩阵形式（常用）

        2、标准形：如果二次型只含平方项，即f（x1，x2，…，xn）=d1x12+d2x22+…+dnxn2这样的二次型称为标准形（对角线）

        3、二次型化为标准形的方法：

        （1）配方法：通过可逆线性变换x=Cy（C可逆），将二次型化为标准形。

        其中，可逆线性变换及标准形通过先配方再换元得到。

        （2）正交变换法：通过正交变换x=Qy，将二次型化为标准形λ1y12+λ2y22+…+λnyn2其中，λ1，λ2，…，λn是A的n个特征值，Q为A的正交矩阵注:正交矩阵Q不唯一，γi与λi对应即可。

        （二）惯性定理及规范形

        4、定义：正惯性指数：标准形中正平方项的个数称为正惯性指数，记为p；负惯性指数：标准形中负平方项的个数称为负惯性指数，记为q；规范形：f=z12+…zp2-zp+12-…-zp+q2称为二次型的规范形。

        5、惯性定理：二次型无论选取怎样的可逆线性变换为标准形，其正负惯性指数不变。注：

        （1）由于正负惯性指数不变，所以规范形唯一。

        （2）p=正特征值的个数，q=负特征值的个数，p+q=非零特征值的个数=r（A）

        （三）合同矩阵

        6、定义：A、B均为n阶实对称矩阵，若存在可逆矩阵C，使得B=CTAC，称A与B合同

        7、总结：n阶实对称矩阵A、B的关系

        （1）A、B相似（B=P-1AP）相同的特征值

        （2）A、B合同（B=CTAC）相同的正负惯性指数相同的正负特征值的个数

        （3）A、B等价（B=PAQ）r（A）=r（B）注：实对称矩阵相似必合同，合同必等价

        （四）正定二次型与正定矩阵

        8、正定的定义二次型xTAx，如果任意x≠0，恒有xTAx＞0，则称二次型正定，并称实对称矩阵A是正定矩阵。

        9、n元二次型xTAx正定充要条件：

        （1）A的正惯性指数为n

        （2）A与E合同，即存在可逆矩阵C，使得A=CTC或CTAC=E

        （3）A的特征值均大于0

        （4）A的顺序主子式均大于0（k阶顺序主子式为前k行前k列的行列式）

        10、n元二次型xTAx正定必要条件：

        （1）aii＞0

        （2）|A|＞

        011、总结：二次型xTAx正定判定（大题）

        （1）A为数字：顺序主子式均大于0

        （2）A为抽象：证A为实对称矩阵：AT=A；再由定义或特征值判定

        12、重要结论：

        （1）若A是正定矩阵，则kA（k＞0），Ak，AT，A-1，A*正定

        （2）若A、B均为正定矩阵，则A+B正定初夏早上六点，清亮透明的月儿还躲藏在云朵里，不忍离去，校园内行人稀少，我骑着单车，晃晃悠悠的耷拉着星松的睡眼。校园内景色如常，照样是绿意盈盈，枝繁叶茂，鸟儿歌唱。经过西区公园，看那碧绿的草地，飞翔中的亭子，便想起十七那年，在这里寻找春天的日子。

        本想就此停车再感受一遍，可惜心中记挂北区的荷塘。回想起冬日清理完荷塘的枯枝败叶，一片萧条的景色：湖水变成墨绿色，没有鱼儿游动，四处不见了鸟儿的踪影，只有莲藕躺在湖底沉沉睡去。清洁大叔撑着竹竿，乘一叶扁舟，把一片片黑色腐烂的枯叶残枝挑上船。

        几个小孩用长长的铁钩把莲蓬勾上岸，取下里头成熟的莲子。