抛物线知识点归纳总结与经典习题 抛物线知识点视频讲解

        抛物线经典结论与例题抛物线定义平面内与一个定点与一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线。{=点M到直线的距离}范围对称性关于轴对称关于轴对称焦点(,0)(,0)(0,)(0,)焦点在对称轴上顶点离心率=1准线方程准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。顶点到准线的距离焦点到准线的距离焦半径焦点弦长焦点弦的几条性质以为直径的圆必与准线相切假设的倾斜角为，那么假设的倾斜角为，那么切线方程1.直线与抛物线的位置关系直线，抛物线，，消y得：〔1〕当k=0时，直线与抛物线的对称轴平行，有一个交点；〔2〕当k≠0时，Δ＞0，直线与抛物线相交，两个不同交点；Δ=0，直线与抛物线相切，一个切点；Δ＜0，直线与抛物线相离，无公共点。

        （3）假设直线与抛物线只有一个公共点,那么直线与抛物线必相切吗〔不一定〕2.关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线：抛物线，1联立方程法：设交点坐标为,，那么有,以及，还可进一步求出，在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比方a.相交弦AB的弦长或b.中点,，2点差法：设交点坐标为，，代入抛物线方程，得将两式相减，可得所以a.在涉及斜率问题时，b.在涉及中点轨迹问题时，设线段的中点为，，即，同理，对于抛物线，假设直线与抛物线相交于两点，点是弦的中点，那么有〔注意能用这个公式的条件：1〕直线与抛物线有两个不同的交点，2〕直线的斜率存在，且不等于零〕

        一、抛物线的定义及其应用例

        1、设P是抛物线y2＝4x上的一个动点．

        (1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之与的最小值；

        (2)假设B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．例

        2、设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆与抛物线C的准线相交，那么y0的取值范围是()A．(0,2)B．[0,2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)

        二、抛物线的标准方程与几何性质例

        3、抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，经过F的直线与抛物线交于A、B两点，交准线于C点，点A在x轴上方，AK⊥l，垂足为K，假设|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，那么△AKF的面积是()A．4B．3C．4D．8例

        4、过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，假设|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3那么此抛物线的方程为()A．y2＝xB．y2＝9xC．y2＝xD．y2＝3x

        三、抛物线的综合问题例

        5、过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且|AB|＝9.

        (1)求该抛物线的方程；

        (2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，假设＝＋λ，求λ的值．例

        6、平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.

        (1)求动点P的轨迹C的方程；

        (2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求·的最小值例

        7、点M(1，y)在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，M点到抛物线C的焦点F的距离为2，直线l：y＝－x＋b与抛物线C交于A，B两点．

        (1)求抛物线C的方程；

        (2)假设以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程．练习题1．抛物线x2＝ay的焦点恰好为双曲线y2－x2＝2的上焦点，那么a等于(〕A．1B．4C．8D．162．抛物线y＝－4x2上的一点M到焦点的距离为1，那么点M的纵坐标是()A．－B．－C.D.3．(2021·辽宁高考)F是拋物线y2＝x的焦点，A，B是该拋物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，那么线段AB的中点到y轴的距离为()A.B．1C.D.4．抛物线y2＝2px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是()A．相离B．相交C．相切D．不确定5．F为抛物线y2＝8x的焦点，过F且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，那么||FA|－|FB||的值等于()A．4B．8C．8D．166．在y＝2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之与最小，那么点P的坐标是()A．(－2,1)B．(1,2)C．(2,1)D．(－1,2)7．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝()A．4B．8C．8D．168．抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，抛物线的方程〔〕A．y2＝－8xB．y2＝8xC．y2＝－4xD．y2＝4x9以抛物线x2＝16y的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为______．10．抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，抛物线上一点Q(－3，m)到焦点的距离是5，那么抛物线的方程为________．11．抛物线y2＝4x与直线2x＋y－4＝0相交于A、B两点，抛物线的焦点为F，那么||＋||＝________.12．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，假设x1＋x2＝6，那么|AB|等于________13．根据以下条件求抛物线的标准方程：

        (1)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；

        (2)过点P(2，－4)．14．点A(－1,0)，B(1，－1)，抛物线C：y2＝4x，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M，P两点，直线MB交抛物线C于另一点Q.假设向量与的夹角为，求△POM的面积．解析

        一、抛物线的定义及其应用例

        1、

        (1)如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1.由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离．于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之与最小．显然，连结AF交曲线于P点，那么所求的最小值为|AF|，即为.

        (2)如图，自点B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于点P1，那么|P1Q|＝|P1F|.那么有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.即|PB|＋|PF|的最小值为4.例

        2、解析：圆心到抛物线准线的距离为p，即p＝4，根据已知只要|FM|>4即可．根据抛物线定|FM|＝y0＋2由y0＋2>4，解得y0>2，故y0的取值范围是(2，＋∞)．

        二、抛物线的标准方程与几何性质例

        3、设点A(x1，y1)，其中y1B作抛物线的准线的垂线，垂足为B1.那么有|BF|＝|BB1|；又|CB|＝2|FB|，因此有|CB|＝2|BB1|，cos∠CBB1＝＝，∠CBB1＝.即直线AB与x轴的夹角为.又|AF|＝|AK|＝x1＋＝4，因此y1＝4sin＝2，因此△AKF的面积等于|AK|·y1＝×4×2＝4.例4．分别过点A、B作AA

        1、BB1垂直于l，且垂足分别为A

        1、B1，由条件|BC|＝2|BF|得|BC|＝2|BB1|，∴∠BCB1＝30°，又|AA1|＝|AF|＝3，∴|AC|＝2|AA1|＝6，∴|CF|＝|AC|－|AF|＝6－3＝3，∴F为线段AC的中点．故点F到准线的距离为p＝|AA1|＝，故抛物线的方程为y2＝3x.

        三、抛物线的综合问题例

        5、

        (1)直线AB的方程是y＝2(x－)，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以：x1＋x2＝，由抛物线定义得：|AB|＝x1＋x2＋p＝9，所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.

        (2)由p＝4,4x2－5px＋p2＝0可简化为x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，从而A(1，－2)，B(4,4)；设＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)＝(4λ＋1,4λ－2)．又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)．即(2λ－1)2＝4λλ＝0，或λ＝2.例

        6、

        (1)设动点P的坐标为(x，y)，由题意有－|xy2＝2x＋2|x|.当x≥0时，y2＝4x；当x<0时，y＝0.所以，动点P的轨迹C的方程为y2＝4x(x≥0)与y＝0(x<0)．

        (2)由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，那么l1的方程为y＝k(x－1)．由，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.(7分)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x1，x2是上述方程的两个实根，于是x1＋x2＝2＋，x1x2＝1.(8分)因为l1⊥l2，所以l2的斜率为－.设D(x3，y3)，E(x4，y4)，那么同理可得x3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1.＝(x1＋1)(x2＋1)＋(x3＋1)·(x4＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋x3x4＋(x3＋x4)＋1(11分)＝1＋(2＋)＋1＋1＋(2＋4k2)＋1＝8＋4(k2＋)≥8＋4×2＝16.当且仅当k2＝，即k＝±1时，·取最小值16.例7、

        (1)抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－，由抛物线定义与条件可知|MF|＝1－(－)＝1＋＝2，解得p＝2,故所求抛物线C的方程为y2＝4x.

        (2)联立消去x并化简整理得y2＋8y－8b＝0.依题意应有Δ＝64＋32b>0，解得bA(x1，y1)，B(x2，y2)，那么y1＋y2＝－8，y1y2＝－8b，设圆心Q(x0，y0)，那么应用x0＝，y0＝＝－4.因为以AB为直径的圆与x轴相切，所以圆的半径为r＝|y0|＝4.又|AB|＝＝＝＝所以|AB|＝2r＝＝8，解得b＝－.所以x1＋x2＝2b－2y1＋2b－2y2＝4b＋16＝，那么圆心Q的坐标为(，－4)．故所求圆的方程为(x－)2＋(y＋4)2＝16.练习题：1．解析：根据抛物线方程可得其焦点坐标为(0，)，双曲线的上焦点为(0,2)，依题意那么有＝2解得a＝8.2．解析：抛物线方程可化为x2＝－，其准线方程为y＝.设M(x0，y0)，那么由抛物线的定义，可知－y0＝1⇒y0＝－.3．解析：根据拋物线定义与梯形中位线定理，得线段AB中点到y轴的距离为：(|AF|＋|BF|)－＝－＝.4．解析：设抛物线焦点弦为AB，中点为M，准线l，A

        1、B1分别为A、B在直线l上的射影，那么|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，于是M到l的距离d＝(|AA1|＋|BB1|)＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|＝半径，故相切．5．解析：依题意F(2,0)，所以直线方程为y＝x－2由，消去y得x2－12xA(x1，y1)，B(x2，y2)，那么||FA|－|FB||＝|(x1＋2)－(x2＋2)|＝|x1－x2|＝＝＝8.6．解析：如下图，直线l为抛物线y＝2x2的准线，F为其焦点，PN⊥l，AN1⊥l，由抛物线的定义知，|PF|＝|PN|，∴|AP|＋|PF|＝|AP|＋|PN|≥|AN1|，当且仅当A、P、N三点共线时取等号．∴P点的横坐标与A点的横坐标一样即为1，那么可排除A、C、D.答案：B7．解析：设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝()A．4B．8C．8D．168．解析：由准线方程x＝－2，可知抛物线为焦点在x轴正，半轴上的标准方程，同时得p＝4，所以标准方程为y2＝2px＝8x9．解析：抛物线的焦点为F(0,4)，准线为y＝－4，那么圆心为(0,4)，半径r＝8.所以，圆的方程为x2＋(y－4)2＝64.10．解析：设抛物线方程为x2＝ay(a≠0)，那么准线为y＝－.∵Q(－3，m)在抛物线上，∴9＝am.而点Q到焦点的距离等于点Q到准线的距离，∴|m－(－m＝代入，得|＋|＝5，解得，a＝±2，或a＝±18，∴所求抛物线的方程为x2＝±2y，或x2＝±18y.11．解析：由，消去y，得x2－5x＋4＝0(*)，方程(*)的两根为A、B两点的横坐标，故x1＋x2＝5，因为抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，所以||＋||＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝712．解析：因线段AB过焦点F，那么|AB|＝|AF|＋|BF|.又由抛物线的定义知|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，故|AB|＝x1＋x2＋2＝8.13．解析：双曲线方程化为－＝1，左顶点为(－3,0)，由题设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，那么－＝－3，∴p＝6，∴抛物线方程为y2＝－12x.

        (2)由于P(2，－4)在∴·＝·＋y1y2＝5.∵向量与的夹角为，∴||·||·cos＝5.∴S△POM＝||·||·sin＝.