抛物线知识点归纳 抛物线知识点归纳图

        抛物线方程及其性质1．抛物线定义：平面内到一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线．2．抛物线四种标准方程的几何性质：图形参数p几何意义参数p表示焦点到准线的距离，p越大，开口越阔.开口方向右左上下标准方程22

        (0)ypxp=>22

        (0)ypxp=->22

        (0)xpyp=>22

        (0)xpyp=->焦点位置X正X负Y正Y负焦点坐标(,0)2p(,0)2p-(0,)2p(0,)2p-准线方程2px=-2px=2py=-2py=范围0,xyR≥∈0,xyR≤∈0,yxR≥∈0,yxR≤∈对称轴X轴X轴Y轴Y轴顶点坐标（0,0）离心率1e=通径2p焦半径11(,)Axy12pAFx=+12pAFx=-+12pAFy=+12pAFy=-+焦点弦长AB12()xxp++12()xxp-++12()yyp++12()yyp-++焦点弦长AB的补充11(,)Axy22(,)Bxy以AB为直径的圆必与准线l相切若AB的倾斜角为α，22sinpABα=若AB的倾斜角为α，则22cospABα=2124pxx=212yyp=-112AFBFABAFBFAFBFAFBFp++===••3．抛物线)0(22>=ppxy的几何性质：

        (1)范围：因为p>0，由方程可知x≥0，所以抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，|y|也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．

        (2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向．

        (3)顶点（0，0），离心率：1=e，焦点(,0)2pF，准线2px-=，焦准距p．

        (4)焦点弦：抛物线)0(22>=ppxy的焦点弦AB，),(11yxA,),(22yxB，则pxxAB++=21||．弦长|AB|=x1+x2+p，当x1=x2时，通径最短为2p。4．焦点弦的相关性质：焦点弦AB，),(11yxA,),(22yxB，焦点(,0)2pF

        (1)若AB是抛物线22

        (0)ypxp=>的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)Axy，22(,)Bxy，则：2124pxx=，212yyp=-。

        (2)若AB是抛物线22

        (0)ypxp=>的焦点弦，且直线AB的倾斜角为α，则22sinPABα=（α≠0）。

        (3)已知直线AB是过抛物线22

        (0)ypxp=>焦点F,112AFBFABAFBFAFBFAFBFp++===••

        (4)焦点弦中通径最短长为2p。通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径．

        (5)两个相切：○1以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切.○2过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。

        5、焦半径公式2122xPBFxpAF+=+=21-2-2xPBFxpAF==ααcos1cos1+=-=pBFpAFααcos-1cos1pBFpAF=+=相同PBFAF211=+6三角形OAB的面积θsin22PSOAB=∆θcos22PSOAB=∆7．弦长公式：),(11yxA,),(22yxB是抛物线上两点，则221212()()ABxxyy=-+-||11||1212212yykxxk-+=-+=8.直线与抛物线的位置关系直线，抛物线，，消y得：

        （1）当k=0时，直线l与抛物线的对称轴平行，有一个交点；

        （2）当k≠0时，Δ＞0，直线l与抛物线相交，两个不同交点；Δ=0，直线l与抛物线相切，一个切点；Δ＜0，直线l与抛物线相离，无公共点。

        （3）若直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线必相切吗?（不一定）

        9、过抛物线内一点作直线只与抛物线有一个交点点在抛物线内直线有1条（1交）点在抛物线上直线有2条（1交1切）点在抛物线外直线有3条（1交2切）

        10、关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线l：bkxy+=抛物线，)0(p①联立方程法：⎩⎨⎧=+=pxybkxy22⇒0)(2222=+-+bxpkbxk设交点坐标为),(11yxA,),(22yxB，则有0∆，以及2121,xxxx+，还可进一步求出bxxkbkxbkxyy2)(212121++=+++=+，2212122121)())((bxxkbxxkbkxbkxyy+++=++=在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如a.相交弦AB的弦长2122122124)(11xxxxkxxkAB-++=-+=ak∆+=21或2122122124)(1111yyyykyykAB-++=-+=ak∆+=21b.中点),(00yxM,2210xxx+=，2210yyy+=②点差法：设交点坐标为),(11yxA，),(22yxB，代入抛物线方程，得1212pxy=2222pxy=将两式相减，可得)

        (2))((212121xxpyyyy-=+-2121212yypxxyy+=--a.在涉及斜率问题时，212yypkAB+=b.在涉及中点轨迹问题时，设线段AB的中点为),(00yxM，021*******ypypyypxxyy==+=--，即0ypkAB=，同理，对于抛物线)0(22≠=ppyx，若直线l与抛物线相交于BA、两点，点),(00yxM是弦AB的中点，则有pxpxpxxkAB0021222==+=（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）