重要的求极限的方法总结 求极限的重要法则

        aΣx→∞n→∞lim=limxm−n一一些些求极限的基本方法(转)Contents1主部原则12初等性质23分解因式和补充因子34等价无穷小代换及级数展开35重要极限和指对转化46迫敛准则57Stolz定理68单调有界判据79回归定义8这部分我不把函数和数列分开了，毕竟有着数列极限和函数极限的关系:limf(x)=A⇔.∀|xn|→∞(n→∞)⇒limf(xn)=AΣ1主部原则即保留幂函数主部，也就是说x→∞时，最高次幂为主部，x→0时最低次幂为主部。对于a,bƒ=0,n>ki,m>si有：axn+Σpixkix→0bxm+qixsiix→0b这两个式子的证明是容易的，只需用到化无穷小的小技巧。举例说明：i2→+∞xn→∞n→∞nn→∞nx+x+xxx3»1+1nnlim2x2+x2=lim2x222=x→∞3x−2x→∞3x3对于上下最高（最低）指数不相等的就更简单了，忽略之后必为0或无穷。

        再举个例子：m√x−1x=(1+t)mn(1+t)n−1nt+n(n−1)t2+···nlim√====lim=lim2=x→1nx−1t→0(1+t)m−1t→0mt+m(m−1)t2+···m2初等性质上面一条就是最常用的基本性质，（忽略某些0项）其他的还有：

        (1)a→a,b→b⇒ka→ka,abana→ab,→nnn1nnn1

        (2)an→0⇒a→∞,an→∞⇒a→0

        (3)an→0,|bn|<M⇒anbn→0

        (4)an→0,|bn|<|an|⇒bn→0我们对

        (3),

        (4)举例说明：10≤x−[x]<1,→0(x→+∞)⇒limx−[x]=0α<1时xx→+∞xlim((n+1)α−nα)=limnαÅ(1+1)α−1ã≤limnαÅ(1+1)−1ã=0.»√…1+.1+»1再者：Σpian+1I=limn→∞证明：不妨设a1=max{ai}，则Σpian=max{ai}i=1√x+1=xlimlimx→+∞=1√x+1=xlimlimx→+∞bb有时将式子化无穷小是有益的，比如：有时将式子化无穷小是有益的，比如：iÄäÄäan+1Σpiain+1a1In=n1Σpiain→a1a1a1n−n−Σkn1knnΣ−kkn1k212−−3分解因式和补充因子对于limf(x)=0,limg(x)=0，怎样找到limf(x)x→ax→ax→ag(x)对于f,g是多项式的情况，f,g必可因式分解，那么只需约去(x-a)项即可得到极限。举例说明：limx3+x2−2x−8=lim(x2+3x+4)(x2)7=再者：x→2x−4x→2(x+2)(x−2)2limx→2(x2+3x+4)(x−2)2(x+2)(x−2)=limx→2(x2+3x+4)(x2)=0(x+2)经常碰到一些根式，可以用补充因子的方法处理：√2x+1−3√2x+1−3√2x+1+3√x−2+√22x+1−9√x−2+√22√2lim√√√√√√√=lim√=x→4x−2−2x→4x−2−2x−2+22x+1+3x→4x−2−22x+1+33所以记住一些典型因式分解是有意义的，例如：a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)n−1ab=(ab)ab−−k=0n−1a+b=(a+b)

        (1)ab−−,n=2N+1k=04等价无穷小代换及级数展开根据等价无穷小的定义可以推出，只有在乘积情况下因子可以替换为等价无穷小，在加和情况下不能使用。常见的等价无穷小：sinx∼x∼tanx∼arcsinx∼arctanx√1+x−1∼x1−cosx∼2x举例说明：2−k!3−g(x)Axn+12n+12xlimm√x1√n=limx/mn=x→1x−1x→1x/nm级数展开最常使用的就是切线近似，例如Bernoulli不等式，这是常用的工程近似：(1+x)n−1∼nx另一个重要形式就是Taylor级数，形式如下：n(k)f(x)=Σf(a)(x−a)k+o((x−a)n)k=0常配合1tanx=x++···⇒lim=lim3=3x→0x3x→0x33所以说记住常用的级数展开是有意义的，例如（x=0处展开）：x3x5sinx=x−++6120x2x4cosx=1−将无穷小符号写出有时是有好处的：Çå1++224Åã1limx→0Åex+e2x+···+enxnx=limx→0ã1(ex−1)+···+(enx−1)xnÅã15重要极限和指对转化重要极限确实很有普适，而且方便快捷，推荐遇到指数型或正弦时率先考虑这两个法则。

        通过=eo(x))x+1+=limx→01+=limx→0n+12=eo(x))x+1+=limx→01+=limx→01+=limx→01+(x+o(x))+···+(x+o(x))n······x举例两个例子说明：1lim(2sinx+cosx)x=limexpÅ2sinx+cosx−1ã=limexpÅ2sinx+cosx−1ã=lime2=e2x→0x→0xx→0xxx→02+∼−n.Σa−1Σn.ΣÃYΣn···n.1−Σ>0,→A⇒na1nni=1xix1nni=1=limexpÅxÅlna+alnxãã=limax=00<a<1nn→这里运用了一个小结论limlnxx1x→1.ΣΣ1.ΣΣ1=limexpx→01ni=1xi=limexpxx→01ni=1lnaiΣn=naii=1关于普通的指对转化，也举个例子：limaxxa=limexp(xlna+alnx)x→∞x→∞6迫敛准则x→∞∞a>1（有张著名的“夹逼准则”的图片已经路人皆知，我就不拿出来了）迫敛法的技巧性较高，变化也很丰富，我只展示几个：证明：nan=√k=11n2+k→1111nΣ1√≤√√≤√≤1再者：n2+nn2+k≤n⇒n2+nk=1n2+kAn=11+22++nnnn→1证明：1<An<n1+n2+···+nnnn1=nn<n−1nn−1还有一个常用的式子，也可通过迫敛法证明：aan+1√Aani1+a(ax−1)x1+=limx→0alimx→0x→∞xan−1n+1−nnnn≤n1n≤1a1an−1n+1=n+11n1n+1=lim=1证明：这里只证A>0情况，由调和平均-几何平均-代数平均不等式可知：naaaa1+a2+···+an举例说明这个结论的应用：nn!(n+1)!nnÅnãn1limn→∞n=limnn→∞(n+1)n+1n!=limn→∞=n+1e再举一个：若an为等差数列.则有：limn√na1···an2证明：设:n→∞a1+···+anenna1···anbn≡(a+···+an)nb(n+1)aÅ(n+1)(a+···+a)ãn2aÅ2a+(n−1)dãn27Stolz定理此定理对于解决含有求和的极限十分好用，其形式如下：对于递增正序列baaa→+∞，且→A，则→A.n举例说明：bn+1−bnbnΣn1再举一个：n→∞lnnn→∞ln(n+1)−lnnn→∞n+1ln(1+1)n设0<a1<1,an+1=an−a2，证明limn→∞1nkk=1e→12a1+ndn+1a1+an+1=nan−1bna1+···+an+1n(a1+···+an+1)elimk=1k=limn12···1+a1+···+1a1a1a2an=1n(1−nan)=1lnn证明：易知an单调递减，且an→0，则：1an+11−an1=11−an→n−−−1n+1…»»∞ÅãY.ΣΣ−a=n→1⇒na→11=lim1−an=limnln.1+1Σn那么：1ΣÅ11ã111limn(1−nan)=lim1n(1−nan)=liman−nn→∞lnnn→∞nanlnnn→∞lnn11Ä1−1äna8单调有界判据单调有界判据一般只能说明极限存在，求出极限则需要其他手段（例如不动点），我们之前涉及的几乎都是通项表达，而现在开始我们会遇到一些递归表达。该判据有两个条件，即单调和有界，一般来说，单调较容易判断，而有界常需要用到不等式放缩，数学归纳法等方法，技巧性较高。首先我们回顾一下利用不动点求解递归方程：若an+2=pan+1+qan，则求解x2=px+q得x1ƒ=x2（否则满足等差关系），那么an=xnC1+xnC2其他可解递归方程自行复习。

        12做一道简单题：a1=√2,a2=2+an，则递增显然，另外0<an=2+.2+···+2+√2≤.2+2+···+√2+2=2又因为若极限存在且为A，则A2=2+A，即A=2再来一个通项表达的例子：注意到1+x≤exkY=01+1<∞2kk=01exp2k=exp∞k=01<e22k例题1：若an+1−an1>−n2,|an|<M，则an收敛。证明：注意到1111nn→∞1−ann→∞n→∞ln(n+1)−lnnnn→∞1−ann→∞anan+1=limnnn+1ak=1na1an+1nn+1ak=1n所以n所以=1an+1−an>−n2>−n(n−1)=−n−1+n故{an−1/(n−1)}单调有界，所以an收敛。例题2：若A>0,a1≥1,an+1=A−1，则an收敛。

        an=−+=bn+1bn+1bn+1证明：i)注意到a−a11an−an−1n+1nanan−1nn−1故单调性只取决于a2−a1，显然单调。ii)另一方面，归纳可证an>1，所以an<A，故有界，若要保证极限存在，两边取极限后解方程还要保证根的存在，即A“2.如上，则an收敛。9回归定义数学学科，没有什么比回归定义更加有效的办法，无论何时不要忘记定义是最重要的。

        举例说明定义在证明一些不太简单的情况下的例子：证明Stolz定理：设an+1−an=A+ε,ε→0bn+1−bn则对任意给定的ε>0，存在N，使得n≥N时有|εn|<ε累加得an+1−Abn+1=an−Abn+εn(bn+1−bn)...aN+1−AbN+1=aN−AbN+εN(bN+1−bN)an+1−Abn+1=aN−AbN+εn(bn+1−bn)+···+εN(bN+1−bN)所以|an+1−Abn+1|=|aN−AbN|+|εn|(bn+1−bn)+···+|εN|(bN+1−bN)<|an−Abn|+|ε|(bn+1−bN)即....an+1−A....<N−AbN|+εbn+1−bNnn再取Nj，使得n≥Nj时有则对于n>max{N,Nj}有：|aN−AbN|<εn+1....an+1−A....<ε+εbn+1−bN<2ε定理得证。(完)bn+1bn+1这篇文章是我转来的，给一些大一的同学看看，最近群里的问题除了极限就是极限，而且有一些是特别基础的东西，希望大家看完这篇文章会对极限问题有一些想法和收获。学数学是需要讨论，但希望大家多讨论一些有价值的问题，有些过于基础的东西可以先和同学交流下再来发问，毕竟大家基本都是211的高材生，相信大部分人都是有独立解决问题的能力的。

        当然这些不会硬性的要求，尽力而为吧。最后顺便说一下群管理的问题，因为高等数学(实名制)是2000人群，所以群规是比较严格的，禁止发任何和数学无关的图片和言论，因为如果一人水一条消息，就有2000条水群的消息，各位也不希望这个群变成没任何意义的聊天群吧？所以你如果被管理员禁言了，不是因为管理员有多任性有多恨你，而是因为他们有自己的责任维护群秩序，仅此而已。你如果觉得自己被处罚的太重，可以私聊我ZJU数学夏语冰，我会给你一个解释。

        希望大家能自律一些自强一些，都能从群中有所收获。(本文转载自超理论坛，本人只做少量排版修改和typo修改。原作者mutong19970320)。