二次函数知识点总结 二次函数知识点总结笔记

        二次函数知识点总结

        一、函数定义与表达式1.一般式：（，，为常数，）；2.顶点式：（，，为常数，）；3.交点式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化。

        二、函数图像的性质——抛物线

        （1）开口方向——二次项系数二次函数中，作为二次项系数，显然．当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.

        （2）抛物线是轴对称图形，对称轴为直线一般式：对称轴顶点式：x=h两根式：x=

        （3）对称轴位置一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。（“左同右异”）a与b同号（即ab＞0）对称轴在y轴左侧a与b异号（即ab＜0）对称轴在y轴右侧

        （4）增减性，最大或最小值当a>0时，在对称轴左侧（当时），y随着x的增大而减少；在对称轴右侧（当时），y随着x的增大而增大；当a<0时，在对称轴左侧（当时），y随着x的增大而增大；在对称轴右侧（当时），y随着x的增大而减少；当a>0时，函数有最小值，并且当x=，；当a<0时，函数有最大值，并且当x=，；

        （5）常数项c常数项c决定抛物线与y轴交点。

        抛物线与y轴交于（0，c）。

        （6）a\b\c符号判别二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中a、b、c的符号判别：

        （1）a的符号判别由开口方向确定：当开口向上时，a＞0；当开口向下时，a＜0；

        （2）c的符号判别由与Y轴的交点来确定：若交点在X轴的上方，则c＞0；若交点在X轴的下方，则C＜0；

        （3）b的符号由对称轴来确定：对称轴在Y轴的左侧，则a、b同号；若对称轴在Y轴的右侧，则a、b异号；

        （7）抛物线与x轴交点个数Δ=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。这两点间的距离Δ=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

        顶点在x轴上。Δ=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。（当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．）

        （8）特殊的①二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与X轴只有一个交点或二次函数的顶点在X轴上，则Δ=b2-4ac=0；②二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点在Y轴上或二次函数的图象关于Y轴对称，则b=0；③二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点，则c=0；

        三、平移、平移步骤：1将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；2左右平移变h,左加右减；上下平移变k，上加下减。

        随堂练：

        一、选择题：

        1、对于的图象下列叙述正确的是（）A的值越大，开口越大B的值越小，开口越小C的绝对值越小，开口越大D的绝对值越小，开口越小

        2、对称轴是x=-2的抛物线是（）A..y=-2x2-8xBy=2x2-2C.y=2(x-1)2+3D.y=2(x+1)2-

        33、与抛物线的形状大小开口方向相同，只有位置不同的抛物线是（）A．B．C．D．

        4、二次函数的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（）A．x＝4B.x＝3C.x＝－5D.x＝－1。

        5、抛物线的图象过原点，则为（）A．0B．1C．－1D．±

        16、把二次函数配方成顶点式为（）A．B.C．D．

        7、直角坐标平面上将二次函数y＝-2(x－1)2－2的图象向左平移１个单位，再向上平移１个单位，则其顶点为（）A.(0，0)B.(1，－2)C.(0，－1)D.(－2，1)

        8、函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（）A．B．C．D．

        9、抛物线则图象与轴交点个数为（）A．二个交点B．一个交点C．无交点D．不能确定

        10、二次函数的图象如图所示，则，，，这四个式子中，值为正数的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个

        二、填空题：

        1、已知抛物线，请回答以下问题：它的开口向，对称轴是直线，顶点坐标为；

        2、抛物线过8．已知抛物线与轴交于点A，与轴的正半轴交于B、C两点，且BC=2，S△ABC=3，则=，=．

        9、已知：二次函数和的图象都经过x轴上两个不同的点M、N，求a、b的值。

        三、解答

        1、已知二次函数y=2x²-4x-6求：此函数图象的顶点坐标，与x轴、y轴的交点坐标

        2、已知抛物线与y轴交于C（0，c）点，与x轴交于B（c，0），其中c＞0，

        （1）求证：b＋1＋ac=0

        （2）若C与B两点距离等于，一元二次方程的两根之差的绝对值等于1，求抛物线的解析式.

        四、二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用交点式；4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．随堂练:

        1、已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1，图象交Y轴于点（0，2），且过点（-1，0）求这个二次函数的解析式；

        2、已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式；

        3、已知抛物线的对称轴为直线x=2，且通过点（1，4）和点（5，0），求此抛物线的解析式；

        4、已知抛物线与X轴交点的横坐标为-2和1，且通过点（2，8），求二次函数的解析式；

        5、已知抛物线通过三点（1，0），（0，-2），（2，3）求此抛物线的解析式；

        6、抛物线的顶点坐标是（6，-12），且与X轴的一个交点的横坐标是8，求此抛物线的解析式；

        7、抛物线经过点（4，-3），且当x=3时，y最大值=4，求此抛物线的解析式；8．如图，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于A（－1，0）、点B（3，0）和点C（0，－3），一次函数的图象与抛物线交于B、C两点。

        ⑴二次函数的解析式为．⑵当自变量时，两函数的函数值都随增大而增大．3自变量时，一次函数值大于二次函数值．

        9、顶点为（－2，－5）且过点（1，－14）的抛物线的解析式为．

        10、对称轴是轴且过点A（1，3）、点B（－2，－6）的抛物线的解析式为．

        11、有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：甲：对称轴是直线x=4；乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3．请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式：

        五、二次函数解析式中各参数对图象的影响a──开口方向与开口大小(即决定抛物线的形状)h──顶点横坐标即对称轴的位置(沿x轴左右平移:“左加/右减”)k──顶点纵坐标即最值的大小(沿y轴上下平移:“上加/下减”)b──与a一起影响对称轴相对于y轴的位置(“左同/右异”)c──与y轴交点(0,c)的位置(c>0时在x轴上方；c<0时在x轴下方；c=0时必过原点)特殊点纵坐标的位置:如(1，a+b+c)、(-1，a-b+c)等

        六、二次函数与一元二次方程及一元二次不等式的关系(a≠0)一元二次方程ax2+bx+c=0的解是二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标即；一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集是二次函数y=ax2+bx+c的图象在x轴上方的点对应的横坐标的范围，即；一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集是二次函数y=ax2+bx+c的图象在x轴下方的点对应的横坐标的范围，即：.例题:、二次函数的图象如图9所示，根据图象解答下列问题：

        （1）写出方程的两个根．

        （2）写出不等式的解集．

        （3）写出随的增大而减小的自变量的取值范围．

        （4）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．

        七、二次函数的最值——看定义域定义域为全体实数时，顶点纵坐标是最值；定义域不包含顶点时，观察图象确定边界点，进而确定最值

        八、抛物线对称变换前后的解析式y=ax2+bx+cy=ax2-bx+cy=-ax2-bx-cy=-ax2+bx-c九.二次函数常用解题方法总结：⑴求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断二次函数中a、b、c的符号，或由二次函数中a、b、c的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个