高一数学必修一：各章知识点总结 高一数学必修一第二章知识点梳理

        高一数学必修一：各章知识点总结【导语】心无旁骛，全力以赴，争分夺秒，坚强拼搏脚踏实地，不骄不躁，长风破浪，直济沧海，我们，注定成功！作者高一频道为大家推荐《高一数学必修一：各章知识点总结》期望对你的学习有帮助！说明：

        (1)对于一个给定的集合，集合中的元素是肯定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。

        (2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。

        (3)集合中的元素是同等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考核排列顺序是否一样。

        (4)集合元素的三个特性使集合本身具有了肯定性和整体性。

        3、集合的表示：{…}如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}1.用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}2.集合的表示方法：罗列法与描写法。注意啊：常用数集及其记法：非负整数集(即自然数集)记作：N正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A记作a∈A，相反，a不属于集合A记作a?A罗列法：把集合中的元素一一罗列出来，然后用一个大括号括上。

        描写法：将集合中的元素的公共属性描写出来，写在大括号内表示集合的方法。用肯定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。①语言描写法：例：{不是直角三角形的三角形}②数学式子描写法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R|x-3>2}或{x|x-3>2}

        4、集合的分类：1.有限集含有有限个元素的集合2.无穷集含有无穷个元素的集合3.空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝

        二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意：有两种可能

        (1)A是B的一部分，;

        (2)A与B是同一集合。

        反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA2.“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同”结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B①任何一个集合是它本身的子集。AíA②真子集:如果AíB,且A1B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)③如果AíB,BíC,那么AíC④如果AíB同时BíA那么A=B3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

        三、集合的运算1.交集的定义：一样地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作A∩B(读作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}.

        2、并集的定义：一样地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。

        记作：A∪B(读作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}.

        3、交集与并集的性质：A∩A=A,A∩φ=φ,A∩B=B∩A，A∪A=A,A∪φ=A,A∪B=B∪A.

        4、全集与补集

        (1)补集：设S是一个集合，A是S的一个子集(即)，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集(或余集)记作：CSA即CSA={x|x?S且x?A}SCsAA

        (2)全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。

        (3)性质：⑴CU(CUA)=A⑵(CUA)∩A=Φ⑶(CUA)∪A=U

        二、函数的有关概念1.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果依照某个肯定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有肯定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范畴A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.注意：2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子成心义的实数的集合;3函数的定义域、值域要写成集合或区间的情势.定义域补充能使函数式成心义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要根据是：

        (1)分式的分母不等于零;

        (2)偶次方根的被开方数不小于零;

        (3)对数式的真数必须大于零;

        (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

        (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都成心义的x的值组成的集合.

        (6)指数为零底不可以等于零

        (6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题成心义.(又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。

        )构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域再注意：

        (1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等(或为同一函数)

        (2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判定方法：①表达式相同;②定义域一致(两点必须同时具有)(见课本21页相干例2)值域补充

        (1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先推敲其定义域.

        (2).应熟悉掌控一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。3.函数图象知识归纳

        (1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象.C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上.即记为C={P(x,y)|y=f(x),x∈A}图象C一样的是一条光滑的连续曲线(或直线),也多是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。

        (2)画法A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在座标系内描出相应的点P(x,y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.B、图象变换法(请参考必修4三角函数)常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换

        (3)作用：

        1、直观的看出函数的性质;

        2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。发觉解题中的毛病。

        4.快去了解区间的概念

        (1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间;

        (2)无穷区间;

        (3)区间的数轴表示.5.什么叫做映照一样地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个肯定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有肯定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映照。记作“f：AB”给定一个集合A到B的映照，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象说明：函数是一种特别的映照，映照是一种特别的对应，①集合A、B及对应法则f是肯定的;②对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一样是不同的;③对于映照f：A→B来说，则应满足：(Ⅰ)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是的;(Ⅱ)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个;(Ⅲ)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。常用的函数表示法及各自的优点：1函数图象既可以是连续的曲线，也能够是直线、折线、离散的点等等，注意判定一个图形是否是函数图象的根据;2解析法：必须注明函数的定义域;3图象法：描点法作图要注意：肯定函数的定义域;化简函数的解析式;视察函数的特点;4列表法：选取的自变量要有代表性，应能反应定义域的特点.注意啊：解析法：便于算出函数值。

        列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值补充一：分段函数(参见课本P24-25)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范畴里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。

        分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情形.

        (1)分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数;

        (2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.补充二：复合函数如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A)称为f、g的复合函数。例如:y=2sinXy=2cos(X2+1)7.函数单调性

        (1).增函数设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1注意：1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质;2必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2;当x1

        (2)图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是降落的.

        (3).函数单调区间与单调性的判定方法(A)定义法：1任取x1，x2∈D，且x1(B)图象法(从图象上看升降)_(C)复合函数的单调性复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相干，其规律以下：函数单调性u=g(x)增增减减y=f(u)增减增减y=f[g(x)]增减减增注意：

        1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

        2、还记得我们在选修里学习简单易行的导数法判定单调性吗?8.函数的奇偶性

        (1)偶函数一样地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数.

        (2)奇函数一样地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数.注意：1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质;函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。2由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称).

        (3)具有奇偶性的函数的图象的特点偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.总结：利用定义判定函数奇偶性的格式步骤：1两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.

        (2).求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等，如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法;已知复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范畴;当已知表达式较简单时，也可用凑配法;若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x)10.函数(小)值(定义见课本p36页)1利用二次函数的性质(配方法)求函数的(小)值2利用图象求函数的(小)值3利用函数单调性的判定函数的(小)值：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有值f(b);如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.此时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号-表示.正的次方根与负的次方根可以合并成±(>0).由此可得：负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0，记作。

        注意：当是奇数时，，当是偶数时，2.分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没成心义指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂.3.实数指数幂的运算性质

        (1)?;

        (2);

        (3).

        (二)指数函数及其性质

        1、指数函数的概念：一样地，函数叫做指数函数(exponential)，其中x是自变量，函数的定义域为R.注意：指数函数的底数的取值范畴，底数不能是负数、零和1.

        2、指数函数的图象和性质a>10图象特点函数性质向x、y轴正负方向无穷延伸函数的定义域为R图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数函数图象都在x轴上方函数的值域为R+函数图象都过定点(0，1)自左向右看，图象逐渐上升自左向右看，图象逐渐降落增函数减函数在函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快;函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢;注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

        (1)在[a，b]上，值域是或;

        (2)若，则;取遍所有正数当且仅当;

        (3)对于指数函数，总有;

        (4)当时，若，则;

        二、对数函数

        (一)对数1.对数的概念：一样地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：(—底数，—真数，—对数式)说明：1注意底数的限制，且;2;3注意对数的书写格式.两个重要对数：1常用对数：以10为底的对数;2自然对数：以无理数为底的对数的对数.对数式与指数式的互化对数式指数式对数底数←→幂底数对数←→指数真数←→幂

        (二)对数的运算性质如果，且，，，那么：1?+;2-;3.注意：换底公式(，且;，且;).利用换底公式推导下面的结论

        (1);

        (2).

        (二)对数函数

        1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是(0，+∞).注意：1对数函数的定义与指数函数类似，都是情势定义，注意辨别。如：，都不是对数函数，而只能称其为对数型函数.2对数函数对底数的限制：，且.

        2、对数函数的性质：a>10图象特点函数性质函数图象都在y轴右侧函数的定义域为(0，+∞)图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数向y轴正负方向无穷延伸函数的值域为R函数图象都过定点(1，0)自左向右看，图象逐渐上升自左向右看，图象逐渐降落增函数减函数都过点(1，1);

        (2)时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数.特别地，当时，幂函数的图象下凸;当时，幂函数的图象上凸;

        (3)时，幂函数的图象在区间上是减函数.在

        2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点.

        3、函数零点的求法：求函数的零点：1(代数法)求方程的实数根;2(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.

        4、二次函数的零点：二次函数.1)△>0，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点.2)△=0，方程有两相等实根(二重根)，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点.3)△<0，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点.。