三角函数知识点总结 三角函数知识点总结思维导图

        三角函数

        一、基础知识定义1角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。

        定义2角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角的弧长为L，则其弧度数的绝对值|α|=,其中r是圆的半径。

        定义3三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P，设它的坐标为（x,y），到原点的距离为r,则正弦函数sinα=,余弦函数cosα=,正切函数tanα=，余切函数cotα=，定理1同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tanα=,商数关系：tanα=；乘积关系：tanα×cosα=sinα,cotα×sinα=cosα；平方关系：sin2α+cos2α=1,tan2α+1=sec2α,cot2α+1=csc2α.定理2诱导公式（Ⅰ）sin(α+π)=-sinα,cos(π+α)=-cosα,tan(π+α)=tanα;（Ⅱ）sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα;（Ⅲ）sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,tan=(π-α)=-tanα;（Ⅳ）sin=cosα,cos=sinα（奇变偶不变，符号看象限）。定理3正弦函数的性质，根据图象可得y=sinx（x∈R）的性质如下。单调区间：在区间上为增函数，在区间上为减函数，最小正周期为2.奇偶数.有界性：当且仅当x=2kx+时，y取最大值1，当且仅当x=3k-时,y取最小值-1。

        对称性：直线x=k+均为其对称轴，点（k,0）均为其对称中心，值域为[-1，1]。这里k∈Z.定理4余弦函数的性质，根据图象可得y=cosx(x∈R)的性质。单调区间：在区间[2kπ,2kπ+π]上单调递减，在区间[2kπ-π,2kπ]上单调递增。

        最小正周期为2π。奇偶性：偶函数。对称性：直线x=kπ均为其对称轴，点均为其对称中心。

        有界性：当且仅当x=2kπ时，y取最大值1；当且仅当x=2kπ-π时，y取最小值-1。值域为[-1，1]。这里k∈Z.定理5正切函数的性质：由图象知奇函数y=tanx(xkπ+)在开区间(kπ-,kπ+)上为增函数,最小正周期为π，值域为（-∞，+∞），点（kπ，0），（kπ+，0）均为其对称中心。

        定理6两角和与差的基本关系式：cos(αβ)=cosαcosβsinαsinβ,sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ;tan(αβ)=定理7和差化积与积化和差公式:sinα+sinβ=2sincos,sinα-sinβ=2sincos,cosα+cosβ=2coscos,cosα-cosβ=-2sinsin,sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)],cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)],cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)],sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)].定理8倍角公式:sin2α=2sinαcosα,cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,tan2α=定理9半角公式:sin=,cos=,tan==定理10万能公式:,,定理11辅助角公式：如果a,b是实数且a2+b20，则取始边在x轴正半轴，终边经过点(a,b)的一个角为β，则sinβ=,cosβ=，对任意的角α.asinα+bcosα=sin(α+β).定理12正弦定理：在任意△ABC中有，其中a,b,c分别是角A，B，C的对边，R为△ABC外接圆半径。定理13余弦定理：在任意△ABC中有a2=b2+c2-2bcosA，其中a,b,c分别是角A，B，C的对边。定理14图象之间的关系：y=sinx的图象经上下平移得y=sinx+k的图象；经左右平移得y=sin(x+)的图象（相位变换）；纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到y=sin()的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(x+)(>0)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(x+)(,>0)(|A|叫作振幅)的图象向右平移个单位得到y=Asinx的图象。

        定义4函数y=sinx的反函数叫反正弦函数，记作y=arcsinx(x∈[-1,1])，函数y=cosx(x∈[0,π])的反函数叫反余弦函数，记作y=arccosx(x∈[-1,1]).函数y=tanx的反函数叫反正切函数。记作y=arctanx(x∈[-∞,+∞]).y=cosx(x∈[0,π])的反函数称为反余切函数，记作y=arccotx(x∈[-∞,+∞]).定理15三角方程的解集，如果a∈(-1,1)，方程sinx=a的解集是{x|x=nπ+(-1)narcsina,n∈Z}。方程cosx=a的解集是{x|x=2kxarccosa,k∈Z}.如果a∈R，方程tanx=a的解集是{x|x=kπ+arctana,k∈Z}。

        恒等式：arcsina+arccosa=；arctana+arccota=.定理16若，则sinx<x<tanx.

        二、方法与例题1．结合图象解题。例1求方程sinx=lg|x|的解的个数。【解】在同一坐标系内画出函数y=sinx与y=lg|x|的图象（见图），由图象可知两者有6个交点，故方程有6个解。

        2．三角函数性质的应用。例2设x∈(0,π),试比较cos(sinx)与sin(cosx)的大小。【解】若，则cosx≤1且cosx>-1，所以cos，所以sin(cosx)≤0,又0<sinx≤1,所以cos(sinx)>0，所以cos(sinx)>sin(cosx).若，则因为sinx+cosx=(sinxcos+sincosx)=sin(x+)≤<，所以0<sinx<-cosx<，所以cos(sinx)>cos(-cosx)=sin(cosx).综上，当x∈(0,π)时，总有cos(sinx)<sin(cosx).例3已知α，β为锐角，且x·（α+β-）>0，求证：【证明】若α+β>，则x>0，由α>-β>0得cosα<cos(-β)=sinβ,所以0<<1，又sinα>sin(-β)=cosβ,所以0<<1，所以若α+β<，则x<0，由0<α<-β<得cosα>cos(-β)=sinβ>0,所以>1。

        又0<sinα<sin(-β)=cosβ，所以>1，所以，得证。注：以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式，值得注意的是角的讨论。3．最小正周期的确定。

        例4求函数y=sin(2cos|x|)的最小正周期。【解】首先，T=2π是函数的周期（事实上，因为cos(-x)=cosx，所以co|x|=cosx）；其次，当且仅当x=kπ+时，y=0（因为|2cosx|≤2<π）,所以若最小正周期为T0，则T0=mπ,m∈N+，又sin(2cos0)=sin2sin(2cosπ)，所以T0=2π。4．三角最值问题。

        例5已知函数y=sinx+，求函数的最大值与最小值。【解法一】令sinx=,则有y=因为，所以，所以≤1，所以当，即x=2kπ-(k∈Z)时，ymin=0，当，即x=2kπ+(k∈Z)时，ymax=2.【解法二】因为y=sinx+,=2（因为(a+b)2≤2(a2+b2)），且|sinx|≤1≤，所以0≤sinx+≤2，所以当=sinx，即x=2kπ+(k∈Z)时,ymax=2，当=-sinx，即x=2kπ-(k∈Z)时,ymin=0。例6设0<<π，求sin的最大值。

        【解】因为0<<π，所以，所以sin>0,cos>0.所以sin（1+cos）=2sin·cos2=≤=当且仅当2sin2=cos2,即tan=,=2arctan时，sin(1+cos)取得最大值。例7若A，B，C为△ABC三个内角，试求sinA+sinB+sinC的最大值。【解】因为sinA+sinB=2sincos,①sinC+sin,②又因为，③由①，②，③得sinA+sinB+sinC+sin≤4sin,所以sinA+sinB+sinC≤3sin=,当A=B=C=时，（sinA+sinB+sinC）max=.注：三角函数的有界性、|sinx|≤

        1、|cosx|≤

        1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函数的单调性等是解三角最值的常用手段。

        5．换元法的使用。例8求的值域。【解】设t=sinx+cosx=因为所以又因为t2=1+2sinxcosx,所以sinxcosx=，所以，所以因为t-1，所以，所以y-1.所以函数值域为例9已知a0=1,an=(n∈N+)，求证：an>.【证明】由题设an>0，令an=tanan,an∈，则an=因为，an∈，所以an=，所以an=又因为a0=tana1=1，所以a0=，所以·。

        又因为当0<x<时，tanx>x，所以注：换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。另外当x∈时，有tanx>x>sinx，这是个熟知的结论，暂时不证明，学完导数后，证明是很容易的。6．图象变换：y=sinx(x∈R)与y=Asin(x+)(A,,>0).由y=sinx的图象向左平移个单位，然后保持横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，然后再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到y=Asin(x+)的图象；也可以由y=sinx的图象先保持横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，最后向左平移个单位，得到y=Asin(x+)的图象。

        例10例10已知f(x)=sin(x+)(>0,0≤≤π)是R上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求和的值。【解】由f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x)，所以sin(+)=sin(-x+)，所以cossinx=0，对任意x∈R成立。又0≤≤π，解得=，因为f(x)图象关于对称，所以=0。

        取x=0，得=0，所以sin所以(k∈Z)，即=(2k+1)(k∈Z).又>0，取k=0时，此时f(x)=sin(2x+)在[0，]上是减函数；取k=1时，=2，此时f(x)=sin(2x+)在[0，]上是减函数；取k=2时，≥，此时f(x)=sin(x+)在[0，]上不是单调函数，综上，=或2。7．三角公式的应用。例11已知sin(α-β)=，sin(α+β)=-，且α-β∈，α+β∈，求sin2α,cos2β的值。

        【解】因为α-β∈，所以cos(α-β)=-又因为α+β∈，所以cos(α+β)=所以sin2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)=,cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=-1.例12已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，且，试求的值。【解】因为A=1200-C，所以cos=cos(600-C)，又由于=，所以=0。解得或。

        又>0，所以。例13求证：tan20+4cos70.【解】tan20+4cos70=+4sin20

        三、基础训练题1．已知锐角x的终边上一点A的坐标为(2sin3,-2cos3)，则x的弧度数为___________。2．适合-2cscx的角的集合为___________。

        3．给出下列命题：

        （1）若αβ，则sinαsinβ；

        （2）若sinαsinβ,则αβ；

        （3）若sinα>0，则α为4．已知sinx+cosx=(x∈(0,π))，则cotx=___________。5．简谐振动x1=Asin和x2=Bsin叠加后得到的合振动是x=___________。6．已知3sinx-4cosx=5sin(x+1)=5sin(x-2)=5cos(x+3)=5cos(x-4)，则1，2，3，4分别是10．cot15cos25cot35cot85=___________。

        11．已知α,β∈(0,π),tan,sin(α+β)=，求cosβ的值。12．已知函数f(x)=在区间上单调递减，试求实数m的取值范围。

        四、高考水平训练题1．已知一扇形中心角是a,所在圆半径为R，若其周长为定值c(c>0)，当扇形面积最大时，a=__________.2.函数f(x)=2sinx(sinx+cosx)的单调递减区间是__________.3.函数的值域为__________.4.方程=0的实根个数为__________.5.若sina+cosa=tana,a，则__________a（填大小关系）.6.(1+tan1)(1+tan2)…(1+tan44)(1+tan45)=__________.7.若0<y≤x<且tanx=3tany，则x-y的最大值为__________.8.=__________.9.·cos·cos·cos·cos=__________.10.cos271+cos71cos49+cos249=__________.11.解方程：sinx+2sin2x=3+sin3x.12.求满足sin(x+sinx)=cos(x-cosx)的所有锐角x.13.已知f(x)=(kA0,k∈Z,且A∈R)，

        （1）试求f(x)的最大值和最小值；

        （2）若A>0,k=-1，求f(x)的单调区间；

        （3）试求最小正整数k，使得当x在任意两个整数（包括整数本身）间变化时，函数f(x)至少取得一次最大值和一次最小值。

        五、联赛一试水平训练题

        （一）1．若x,y∈R，则z=cosx2+cosy2-cosxy的取值范围是____________.2．已知圆x2+y2=k2至少盖住函数f(x)=的一个最大值点与一个最小值点，则实数k的取值范围是____________.3．f()=5+8cos+4cos2+cos3的最小值为____________.4．方程sinx+cosx+a=0在（0，2π）内有相异两实根α，β，则α+β=____________.5．函数f(x)=|tanx|+|cotx|的单调递增区间是____________.6．设sina>0>cosa,且sin>cos，则的取值范围是____________.7．方程tan5x+tan3x=0在[0，π]中有__________个解.8．若x,y∈R,则M=cosx+cosy+2cos(x+y)的最小值为____________.9．若0<<,m∈N+,比较大小：(2m+1)sinm(1-sin)__________1-sin2m+1.10．cot70+4cos70=____________.11.在方程组中消去x,y，求出关于a,b,c的关系式。12．已知α，β，γ，且cos2α+cos2β+cos2γ=1，求tanαtanβtanγ的最小值。13．关于x,y的方程组有唯一一组解，且sinα,sinβ,sinγ互不相等，求sinα+sinβ+sinγ的值。

        14．求满足等式sinxy=sinx+siny的所有实数对（x,y）,x,y.联赛一试水平训练题

        （二）1．在平面直角坐标系中，函数f(x)=asinax+cosax(a>0)在一个最小正周期长的区间上的图象与函数g(x)=的图象所围成的封闭图形的面积是__________.2．若，则y=tan-tan+cos的最大值是__________.3．在△ABC中，记BC=a,CA=b,AB=c,若9a2+9b2-19c2=0，则=__________.4．设f(x)=x2-πx,α=arcsin,β=arctan,γ=arccos,δ=arccot,将f(α),f(β),f(γ),f(δ)从小到大排列为__________.5．logsin1cos1=a,logsin1tan1=b,logcos1sin1=c,logcos1tan1=d。将a,b,c,d从小到大排列为__________.6．在锐角△ABC中，cosA=cosαsinβ,cosB=cosβsinγ,cosC=cosγsinα，则tanα·tanβ·tanγ=__________.7．已知矩形的两边长分别为tan和1+cos(0<<π)，且对任何x∈R,f(x)=sin·x2+·x+cos≥0，则此矩形面积的取值范围是__________.8．在锐角△ABC中，sinA+sinB+sinC的取值范围是__________.9．已知当x∈[0,1]，不等式x2cos-x(1-x)+(1-x)2sin>0恒成立，则的取值范围是__________.10．已知sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0，则cos2x+cos2y+cos2z=__________.11．已知a1,a2,…,an是n个实常数，考虑关于x的函数：f(x)=cos(a1+x)+cos(a2+x)+…+cos(an+x)。求证：若实数x1,x2满足f(x1)=f(x2)=0，则存在整数m，使得x2-x1=mπ.12．在△ABC中，已知，求证：此三角形中有一个内角为。

        13．求证：对任意自然数n,均有|sin1|+|sin2|+…+|sin(3n-1)|+|sin3n|>.

        六、联赛二试水平训练题1．已知x>0,y>0,且x+y<π，求证：w(w-1)sin(x+y)+w(sinx-siny)+siny>0①（w∈R）.2.已知a为锐角，n≥2,n∈N+，求证：≥2n-2+1.3.设x1,x2,…,xn,…,y1,y2,…,yn,…满足x1=y1=,xn+1=xn+,yn+1=，求证：2<xnyn<3(n≥2).4．已知α，β，γ为锐角，且cos2α+cos2β+cos2γ=1，求证；π<α+β+γ<π.5．求实数a的取值范围，使得对任意实数x和任意，恒有(x+3+2sincos)2+(x+asin+asin)2≥6.设n,m都是正整数，并且n>m，求证：对一切x都有2|sinnx-cosnx|≤3|sinnx-cosnx|.7．在△ABC中，求sinA+sinB+sinC-cosA-cosB-cosC的最大值。8．求的有的实数a,使cosa,cos2a,cos4a,…,cos2na,…中的每一项均为负数。9．已知i，tan1tan2…tann=2,n∈N+,若对任意一组满足上述条件的1，2，…，n都有cos1+cos2+…+cosn≤λ，求λ的最小值。