高中数学三角函数知识点归纳总结 高中数学三角函数知识点整理

        《三角函数》【知识网络】

        一、任意角的概念与弧度制

        1、将沿x轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角.逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角

        2、同终边的角可表示为{}()360kkZααβ︒=+∈x轴上角：{}()180kkZαα=∈y轴上角：{}()90180kkZαα=+∈

        3、360360360kkkZαα︒︒+<<+∈

        4、区分+≤≤+ππαππkk+≤≤+224,24,0παπ≤≤=k,2345,1παπ≤≤=k所以2α在815730.571801'︒=︒≈︒=π

        1209、弧长与面积计算公式弧长：lRα=⨯；面积：21122SlRRα=⨯=⨯，注意：这里的α均为弧度制.

        二、任意角的三角函数

        1、正弦：sinyrα=；余弦cosxrα=；正切tanyxα=其中(),xy为角α终边上任意点坐标，r=

        2、三角函数值对应表：

        3、三角函数在各象限中的符号304560901201351501802700π3π2π235π32π口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.（简记为“全stc”）sinαtanαcosα由四个图看出：当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段,OMxMPy==，于是有sin1yyyMPrα====，cos1xxxOMrα====，tanyMPATATxOMOAα====．我们就分别称有向线段,,MPOMAT为正弦线、余弦线、正切线。

        5、同角三角函数基本关系式oxyMTPAoxyMTPAxyoMTPAxyoMTPA（Ⅳ）（Ⅱ）（Ⅰ）（Ⅲ）22sincos1αα+=sintantancot1cosααααα=⇒=ααααcossin21)cos(sin2+=+ααααcossin21)cos(sin2-=-(ααcossin+，ααcossin-，ααcossin•，三式之间可以互相表示)

        6、诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限(所谓奇偶指的是απ+2n中整数n的奇偶性，把α看作锐角)212

        (1)sin,sin()2

        (1)s,nnnnconαπαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩为偶数为奇数；212

        (1)s,s()2

        (1)sin,nnconnconαπαα+⎧-⎪+=⎨⎪-⎩为偶数为奇数.①.公式

        （一）：α与()2,kkZαπ+∈απαsin)2sin(=+k；απαcos)2cos(=+k；απαtan)2tan(=+k②.公式

        （二）：α与α-()sinsinαα-=-；()coscosαα-=；()tantanαα-=-③.公式

        （三）：α与πα+()sinsinπαα+=-；()coscosπαα+=-；()tantanπαα+=④.公式

        （四）：α与πα-()sinsinπαα-=；()coscosπαα-=-；()tantanπαα-=-⑤.公式

        （五）：α与2πα+sincos2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭；cossin2παα⎛⎫+=-⎪⎝⎭；⑥.公式

        （六）：α与2πα-sincos2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭；cossin2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭；⑦.公式

        （七）：α与32πα+3sincos2παα⎛⎫+=-⎪⎝⎭；3cossin2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭；⑧.公式

        （八）：α与32πα-3sincos2παα⎛⎫-=-⎪⎝⎭；3cossin2παα⎛⎫-=-⎪⎝⎭；

        三、三角函数的图像与性质

        1、将函数sinyx=的图象上所有的点，向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sinyxϕ=+的图象；再将函数()sinyxϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数()sinyxωϕ=+的图象；再将函数()sinyxωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A倍（横坐标不变），得到函数()sinyAxωϕ=+的图象。

        2、函数()()sin0,0yAxAωϕω=+>>的性质：①振幅：A；②周期：2Tπω=；③频率：12fTωπ==；④相位：xωϕ+；⑤初相：ϕ。

        3、周期函数：一般地，对于函数()fx，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足()()fxTfx+=，那么函数()fx就叫做周期函数，T叫做该函数的周期.

        4、⑴)sin(ϕω+=xAy对称轴：令2xkπωϕπ+=+，得ωϕππ-+=2kx对称中心：πϕωkx=+，得ωϕπ-=kx，))(0,(Zkk∈-ωϕπ；⑵)cos(ϕω+=xAy对称轴：令πϕωkx=+，得ωϕπ-=kx；对称中心：2ππϕω+=+kx，得ωϕππ-+=2kx，))(0,2(Zkk∈-+ωϕππ；⑶周期公式:①函数sin()yAxωϕ=+及cos()yAxωϕ=+的周期ωπ2=T(A、ω、ϕ为常数，且A≠0).②函数()φω+=xAytan的周期ωπ=T(A、ω、ϕ为常数，且A≠0).5sinyx=cosyx=tanyx=图像函数性质6.五点法作)sin(ϕω+=xAy的简图，设ϕω+=xt，取

        0、

        2、π、

        2、π2来求相应x的值以及对应的y值再描点作图。7.)sin(ϕ+ω=xAy的的图像8.函数的变换：

        （1）函数的平移变换①)0)(()(>±=→=aaxfyxfy将)(xfy=图像沿x轴向左（右）平移a个单位（左加右减）②)0()()(>±=→=bbxfyxfy将)(xfy=图像沿y轴向上（下）平移b个单位（上加下减）

        （2）函数的伸缩变换：①)0)(()(>=→=wwxfyxfy将)(xfy=图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的w1倍（1>w缩短，10<<w伸长）②)0)(()(>=→=AxAfyxfy将)(xfy=图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A倍（1>A伸长，10<<A缩短）

        （3）函数的对称变换：①)()(xfyxfy-=→=)将)(xfy=图像绕y轴翻折180°（整体翻折）（对三角函数来说：图像关于x轴对称）②)()(xfyxfy-=→=将)(xfy=图像绕x轴翻折180°（整体翻折）（对三角函数来说：图像关于y轴对称）③)()(xfyxfy=→=将)(xfy=图像在y轴右侧保留，并把右侧图像绕y轴翻折到左侧（偶函数局部翻折）④)()(xfyxfy=→=保留)(xfy=在x轴上方图像，x轴下方图像绕x轴翻折上去（局部翻动）

        四、三角恒等变换1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式：(1）βαβαβαcossincossin)sin(+=+(2）βαβαβαcossincossin)sin(-=-(3）βαβαβαsinsincoscos)cos(-=+(4）βαβαβαsinsincoscos)cos(+=-(5）βαβαβαtantan1tantan)tan(-+=+⇒()()tantantan1tantanαβαβαβ+=+-(6）βαβαβαtantan1tantan)tan(+-=-⇒()()tantantan1tantanαβαβαβ-=-+

        (7)sincosabαα+=)αϕ+(其中，辅助角ϕ所在象限由点(,)ab所在的象限决定,sintanbaϕϕϕ===，该法也叫合一变形).

        (8))4tan(tan1tan1θπθθ+=-+)4tan(tan1tan1θπθθ-=+-2.二倍角公式

        （1）aaacossin22sin=

        （2）1cos2sin21sincos2cos2222-=-=-=aaaaa

        （3）aaa2tan1tan22tan-=3.降幂公式：

        （1）22cos1cos2aa+=

        （2）22cos1sin2aa-=4.升幂公式

        （1）2cos2cos12αα=+

        （2）2sin2cos12αα=-

        （3）2)2cos2(sinsin1ααα±=±

        （4）αα22cossin1+=

        （5）2cos2sin2sinααα=5.半角公式（符号的选择由2θ所在的象限确定）

        （1）2cos12sinaa-±=，

        （2）2cos12cosaa+±=，

        （3）aaaaaaasincos1cos1sincos1cos12tan-=+=+-±=6.万能公式:

        （1）2tan12tan2sin2ααα+=,

        （2）2tan12tan1cos22ααα+-=,

        （3）.2tan12tan2tan2ααα-=7.三角变换：三角变换是运算化简过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算、化简的方法技能。

        （1）角的变换：角之间的和差、倍半、互补、互余等关系对角变换，还可作添加、删除角的恒等变形

        （2）函数名称变换：三角变形中常常需要变函数名称为同名函数。

        采用公式：)sin(cossin22ϕθθθ++=+baba其中2222sin,cosbabbaa+=+=ϕϕ，比如：xxycos3sin+=)cos)3(13sin)3(11()3(1222222xx++++=)cos23sin21(2xx+=)3sincos3cos(sin2ππxx+=)3sin(2π+=x

        （3）注意“凑角”运用：()ααββ=+-，()αββα=--，()()12ααββα=+--⎡⎤⎣⎦例如：已知),43(ππβα∈、,53)sin(-=+βα，1312)4sin(=-πβ，则?)4cos(=+πα

        （4）常数代换：在三角函数运算、求值、证明中有时候需将常数转化为三角函数，特别是常数“1”可转化为“αα22cossin+”

        （5）幂的变换：对次数较高的三角函数式一般采用降幂处理，有时需要升幂例如：acos1+常用升幂化为有理式。

        （6）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用、逆用及变形。

        （7）结构变化：在三角变换中常常对条件、结论的结构进行调整，或重新分组，或移项，或变乘为除，或求差等等。

        在形式上有时需要和差与积的互化、分解因式、配方等。

        （8）消元法：如果所要证明的式子中不含已知条件中的某些变量，可用此法

        （9）思路变换：如果一种思路无法再走下去，试着改变自己的思路，通过分析比较去选择更合适、简捷的方法去解题目。

        （10）利用方程思想解三角函数。

        如对于以下三个式子：aacossin+，aacossinaacossin-，已知其中一个式子的值，其余二式均可求出，且必要时可以换元。8.函数的最值（几种常见的函数及其最值的求法）：①bxay+=sin（或)cosbxa+型：利用三角函数的值域，须注意对字母的讨论②xbxaycossin+=型：引进辅助角化成)sin(22ϕ++=xbay再利用有界性③cxbxay++=sinsin2型：配方后求二次函数的最值，应注意1sin≤x的约束④dxcbxay++=sinsin型：反解出xsin，化归为1sin≤x解决⑥cxxbxxay+⋅++=cossin)cos(sin型：常用到换元法：xxtcossin+=，但须注意t的取值范围：2≤t。9.三角形中常用的关系：)sin(sinCBA+=，)cos(cosCBA+-=，2cos2sinCBA+=，)(2sin2sinCBA+-=，)(2cos2cosCBA+=10.常见数据：sin15cos75cos15︒=︒=︒=︒=，3215tan-=︒,3275tan+=︒,。