三角函数最全知识点总结 三角函数最全知识点总结图

        三角函数、解三角形

        一、任意角和弧度制及任意角的三角函数1.任意角的概念

        (1)我们把角的概念推广到任意角，任意角包括正角、负角、零角．①正角：按__逆时针__方向旋转形成的角．②负角：按__顺时针__方向旋转形成的角．③零角：如果一条射线__没有作任何旋转__，我们称它形成了一个零角．

        (2)终边相同角：与α终边相同的角可表示为：{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}，或{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．

        (3)象限角：角α的终边落在__

        (1)1度的角：__把圆周分成360份，每一份所对的圆心角叫1°的角__.

        (2)1弧度的角：__弧长等于半径的圆弧所对的圆心角叫1弧度的角__.

        (3)角度与弧度的换算：360°＝__2π__rad,1°＝____rad,1rad＝(____)≈57°18′.

        (4)若扇形的半径为r，圆心角的弧度数为α，则此扇形的弧长l＝__|α|·r__，面积S＝__|α|r2__＝__lr__.3．任意角的三角函数定义

        (1)设α是一个任意角，α的终边上任意一点(非顶点)P的坐标是(x，y)，它与原点的距离为r，则sinα＝____，cosα＝____，tanα＝____.

        (2)三角函数在各象限的符号是：sinαcosαtanαⅠ__＋____＋____＋__Ⅱ__＋____－____－__Ⅲ__－____－____＋__Ⅳ__－____＋____－__记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．

        (3)三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的__正弦__线、__余弦__线和__正切__线．4．终边相同的角的三角函数sin(α＋k·2π)＝__sinα__，cos(α＋k·2π)＝__cosα__，tan(α＋k·2π)＝__tanα__(其中k∈Z)，即终边相同的角的同一三角函数的值相等．重要结论1．终边相同的角不一定相等，相等角的终边一定相同，在书写与角α终边相同的角时，单位必须一致．2．确定(k∈N*)的终边位置的方法

        (1)讨论法：①用终边相同角的形式表示出角α的围．②写出的围．③根据k的可能取值讨论确定的终边所在位置．

        (2)等分象限角的方法：已知角α是1．同角三角函数的基本关系式

        (1)平方关系：__sin2x＋cos2x＝1__.

        (2)商数关系：__＝tanx__.2．三角函数的诱导公式组数一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋α正弦sinα__－sinα____－sinα____sinα____cosα____cosα__余弦cosα__－cosα____cosα____－cosα____sinα____－sinα__正切tanα__tanα____－tanα____－tanα__重要结论1．同角三角函数基本关系式的变形应用：如sinx＝tanx·cosx，tan2x＋1＝，(sinx＋cosx)2＝1＋2sinxcosx等．2．特殊角的三角函数值表角α0°30°45°60°90°120°150°180°270°角α的弧度数0πsinα010－1cosα10－－－10tanα01－－03.诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”．“奇”与“偶”指的是诱导公式k·＋α中的整数k是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在k·＋α中，将α看成锐角时k·＋α所在的象限．4.sinx＋cosx、sinx－cosx、sinxcosx之间的关系sinx＋cosx、sinx－cosx、sinxcosx之间的关系为(sinx＋cosx)2＝1＋2sinxcosx，(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx，(sinx＋cosx)2＋(sinx－cosx)2＝2.因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，便可求其余两个代数式的值．

        三、两角和与差的三角函数二倍角公式1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式2．二倍角的正弦、余弦、正切公式

        (1)sin2α＝__2sinαcosα__；

        (2)cos2α＝__cos2α－sin2α__＝__2cos2α__－1＝1－__2sin2α__；

        (3)tan2α＝____(α≠＋且α≠kπ＋，k∈Z)．3．半角公式(不要求记忆)

        (1)sin＝±；

        (2)cos＝±；

        (3)tan＝±＝＝.重要结论1．降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.2．升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.3．公式变形：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanα·tanβ)．＝tan(－α)；＝tan(＋α)cosα＝，sin2α＝，cos2α＝，1±sin2α＝(sinα±cosx)2.4．辅助角(“二合一”)公式：asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)，其中cosφ＝____，sinφ＝____.5.三角形中的三角函数问题在三角形中，常用的角的变形结论有：A＋B＝π－C；2A＋2B＋2C＝2π；＋＋＝.三角函数的结论有：sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC，tan(A＋B)＝－tanC，sin＝cos，cos＝sin.A>B⇔sinA>sinB⇔cosA<cosB.

        四、三角函数的图象与性质1．周期函数的定义及周期的概念

        (1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做__周期函数__.非零常数T叫做这个函数的__周期__.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小__正周期__.

        (2)正弦函数、余弦函数都是周期函数，__2kπ(k∈Z，k≠0)__都是它们的周期，最小正周期是__2π__.2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域x∈Rx∈Rx∈R，且x≠＋kπ，k∈Z值域__{y|－1≤y≤1}____{y|－1≤y≤1}____R__单调性在__[－＋2kπ，＋2kπ]__，k∈Z上递增；在__[＋2kπ，＋2kπ]__，k∈Z上递减在__[(2k－1)π，2kπ]__，k∈Z上递增；在__[2kπ，(2k＋1)π]__，k∈Z上递减在(－＋kπ，＋kπ)，k∈Z上递增最值x＝__＋2kπ(k∈Z)__时，ymax＝1；x＝__－＋2kπ(k∈Z)__时，ymin＝－1x＝__2kπ(k∈Z)__时，ymax＝1；x＝__π＋2kπ(k∈Z)__时，ymin＝－1无最值奇偶性__奇____偶____奇__对称性对称中心__(kπ，0)，k∈Z____,k∈Z__(，0)，k∈Z__对称轴__x＝kπ＋，k∈Z____x＝kπ，k∈Z__无对称轴最小正周期__2π____2π____π__重要结论1．函数y＝sinx，x∈[0,2π]的五点作图法的五个关键点是__(0,0)__、__(，1)__、__(π，0)__、__(，－1)__、__(2π，0)__.函数y＝cosx，x∈[0,2π]的五点作图法的五个关健点是__(0,1)__、__(，0)__、__(π，－1)__、__(，0)__、__(2π，1)__.2．函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T＝，函数y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝.3．正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期．而正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期．4．三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式．

        五、函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用1．五点法画函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0)的图象

        (1)列表：X＝ω·x＋φ0π2πx__－____－____－____－____－__sinx010－10y__0____A____0____－A____0__

        (2)描点：__(－，0)__，__(－，A)__，(－，0)，(－，－A)__，(－，0)__.

        (3)连线：把这5个点用光滑曲线顺次连接，就得到y＝Asin(ωx＋φ)在区间长度为一个周期的图象．

        (4)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y＝Asin(ωx＋φ)在R上的图象2．由函数y＝sinx的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的步骤3．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈[0，＋∞)的物理意义

        (1)振幅为A.

        (2)周期T＝____.

        (3)频率f＝____＝____.

        (4)相位是__ωx＋φ__.

        (5)初相是φ.重要结论1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间的“长度”为.2．“五点法”作图中的五个点：①y＝Asin(ωx＋φ)，两个最值点，三个零点；②y＝Acos(ωx＋φ)，两个零点，三个最值点．3．正弦曲线y＝sinx向左平移个单位即得余弦曲线y＝cosx.

        六、正弦定理、余弦定理1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理容__＝＝__＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径)a2＝__b2＋c2－2bccosA__b2＝__a2＋c2－2accosB__c2＝__a2＋b2－2abcosC__常见变形①a＝__2RsinA__，b＝__2RsinB__，c＝__2RsinC__；②sinA＝____，sinB＝____，sinC＝____；③abc＝__sinAsinBsinC__④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝____；cosB＝____；cosC＝____解决解斜三角形的问题

        (1)已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；

        (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角

        (1)已知三边，求各角；

        (2)已知两边一角，求2．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下A为锐角A为钝角或直角图形关系式a<bsinAa＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>ba≤b解的个数无解一解两解一解一解无解3．三角形常用面积公式

        (1)S＝a·ha(ha表示a边上的高)．

        (2)S＝absinC＝acsinB＝bcsinA.

        (3)S＝r(a＋b＋c)(r为切圆半径)．重要结论在△ABC中，常有以下结论1．∠A＋∠B＋∠C＝π.2．在三角形边对大角，大角对大边．3．任意两边之和大于sin2B＝sin2A＋sin2C－2sinAsinCcosB，sin2C＝sin2A＋sin2B－2sinAsinBcosC.8．若A为最大的角，则A∈[，π)；若A为最小的角，则A∈(0，]；若A、B、C成等差数列，则B＝.9.三角形形状的判定方法

        (1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如a＝2RsinA，a2＋b2－c2＝2abcosC等)，利用三角变换得出三角形角之间的关系进行判断．此时注意一些常见的三角等式所体现的角关系，如sinA＝sinB⇔A＝B；sin(A－B)＝0⇔A＝B；sin2A＝sin2B⇔A＝B或A＋B＝等．

        (2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sinA＝，cosA＝等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断．

        (3)注意无论是化边还是化角，在化简过程中出现公因式不要约掉，否则会有漏掉一种形状的可能．