《复数》知识点总结
1、复数的概念形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,满足,叫做复数的实部,叫做复数的虚部.
(1)纯虚数:对于复数,当时,叫做纯虚数.
(2)两个复数相等:相等的充要条件是.
(3)复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,横轴为实轴,竖轴除去原点为虚轴.
(4)复数的模:复数可以用复平面内的点表示,向量的模叫做复数的模,表示为:
(5)共轭复数:两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做共轭复数.
2、复数的四则运算
(1)加减运算:;
(2)乘法运算:;
(3)除法运算:;
(4)的幂运算:,,,.
(5)
3、规律方法总结
(1)对于复数必须强调均为实数,方可得出实部为,虚部为
(2)复数是由它们的实部和虚部唯一确定的,两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法.对于一个复数,既要从整体的角度去认识它,把复数看成一个整体,又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识
(3)对于两个复数,若不全是实数,则不能比较大小,在复数集里一般没有大小之分,但却有相等与不等之分.
(4)数系扩充后,数的概念由实数集扩充到复数集,实数集中的一些运算性质、概念、关系就不一定适用了,如绝对值的性质、绝对值的定义、偶次方非负等
1、基本概念计算类例1.若且为纯虚数,则实数a的值为_________解:因为,=,又为纯虚数,所以,3a-8=0,且6+4a0。
2、复数方程问题例2.证明:在复数范围内,方程(i为虚数单位)无解证明:原方程化简为设z=x+yi(x、y),代入上述方程得整理得方程无实数解,所以原方程在复数范围内无解。
3、综合类例3.设z是虚数,是实数,且-1<<2
(1)求|z|的值及z的实部的取值范围;
(2)设,求证:M为纯虚数;
(3)求的最小值。
解:
(1)设z=a+bi(a,b)因为,是实数,所以,,即|z|=1,因为=2a,-1<<2,所以,z的实部的取值范围(-)
(2)=(这里利用了
(1)中)。因为a(-),,所以M为纯虚数
(3)因为,a(-),所以,a+1>0,所以2×2-3=1,当a+1=,即a=0时上式取等号,所以,的最小值是1。
4、创新类例4.对于任意两个复数)定义运算“⊙”为⊙=,设非零复数在复平面内对应的点分别为,点O为坐标原点,若⊙=0,则在中,的大小为_________.解法一:(解析法)设,故得点,,且=0,即从而有=故,也即解法二:(用复数的模)同法一的假设,知=+-2()=+-2×0=+=+由勾股定理的逆定理知解法三:(用向量数量积的知识)同法一的假设,知,则有故。
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