高考复数知识点总结 复数高考题型归类解析

        复数1．复数的概念：

        （1）虚数单位i；

        （2）复数的代数形式z=a+bi，(a,b∈R)；

        （3）复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。2．复数集3．复数a+bi(a,b∈R)由两部分组成，实数a与b分别称为复数a+bi的实部与虚部，1与i分别是实数单位和虚数单位，当b=0时，a+bi就是实数，当b≠0时，a+bi是虚数，其中a=0且b≠0时称为纯虚数。应特别注意，a=0仅是复数a+bi为纯虚数的必要条件，若a=b=0，则a+bi=0是实数。

        4．复数的四则运算若两个复数z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，

        （1）加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i；

        （2）减法：z1－z2=(a1－a2)+(b1－b2)i；

        （3）乘法：z1·z2=(a1a2－b1b2)+(a1b2+a2b1)i；

        （4）除法：；

        （5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。

        （6）特殊复数的运算：①(n为整数)的周期性运算；②(1±i)2=±2i；③若ω=-+i，则ω3=1，1+ω+ω2=0.5．共轭复数与复数的模

        （1）若z=a+bi，则，为实数，为纯虚数(b≠0).

        （2）复数z=a+bi的模|Z|=,且=a2+b2.6.根据两个复数相等的定义，设a,b,c,d∈R，两个复数a+bi和c+di相等规定为a+bi=c+di.由这个定义得到a+bi=0.两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。4．复数a+bi的共轭复数是a－bi，若两复数是共轭复数，则它们所表示的点关于实轴对称。

        若b=0，则实数a与实数a共轭，表示点落在实轴上。5．复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区别，最主要的是在运算中将i2=－1结合到实际运算过程中去。如(a+bi)(a－bi)=a2+b26．复数的除法是复数乘法的逆运算将满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+bi≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除以复数c+di的商。

        由于两个共轭复数的积是实数，因此复数的除法可以通过将分母实化得到，即.7．复数a+bi的模的几何意义是指表示复数a+bi的点到原点的距离。

        （二）典型例题讲解1．复数的概念例2．已知(2x－1)+i=y－(3－y)i，其中x,y∈R，求x,y.解：根据复数相等的意义，得方程组，得x=,y=4.例4．当m为何实数时，复数z＝+(m2+3m－10)i；

        （1）是实数；

        （2）是虚数；

        （3）是纯虚数．解：此题主要考查复数的有关概念及方程（组）的解法．

        （1）z为实数，则虚部m2+3m－10=0，即，解得m=2，∴m=2时，z为实数。

        （2）z为虚数，则虚部m2+3m－10≠0，即，解得m≠2且m≠±5.当m≠2且m≠±5时，z为虚数．，解得m=－,∴当m=－时，z为纯虚数．诠释：本题应抓住复数分别为实数、虚数、纯虚数时相应必须具备的条件，还应特别注意分母不为零这一要求．例5．计算：i＋i2＋i3+……+i2005.解：此题主要考查in的周期性．i＋i2＋i3+……+i2005=(i+i2+i3+i4)+……+(i2001+i2002+i2003＋i2004)＋i2005=(i－1－i+1)+(i－1－i+1)+……+(i－1－i+1)+i＝0＋0＋……＋0+i＝i.或者可利用等比数列的求和公式来求解（略）诠释：本题应抓住in的周期及合理分组．例8．使不等式m2－(m2－3m)i＜(m2－4m＋3)i＋10成立的实数m＝.解：此题主要考查复数能比较大小的条件及方程组和不等式的解法．∵m2－(m2－3m)i＜(m2－4m＋3)i＋10,且虚数不能比较大小，∴，解得，∴m=3.当m＝3时，原不等式成立．诠释：本题应抓住复数能比较大小时必须都为实数这一条件。

        例9．已知z=x＋yi(x，y∈R)，且，求z．解：本题主要考查复数相等的充要条件及指数方程，对数方程的解法．∵，∴，∴，解得或,∴z＝2＋i或z＝1＋2i．诠释：本题应抓住复数相等的充要条件这一关键，正确、熟练地解方程（指数，对数方程）2．复数的四则运算例1．计算：

        （1），n∈N+；

        （2）若ω=－+i，ω3=1，计算；

        （4）S=1+2i+3i2+4i3+……+100i99.解：

        （1）==.

        （2）==－2.

        （4）S=1+2i+3i2+4i3+……+100i99=(1+2i+3i2+4i3)+(5i4+6i5+7i6+8i7)+……+(97i96+98i97+99i98+100i99)=(1+2i－3－4i)+(5+6i－7－8i)+……+(97+98i－99－100i)=25(－2－2i)=－50－50i.例2．已知复数z满足|z－2|=2，z+∈R，求z.解：设z=x+yi,x,y∈R，则z+=z+，∵z+∈R，∴=0，又|z－2|=2,∴(x－2)2+y2=4,联立解得，当y=0时,x=4或x=0(舍去x=0,因此时z=0)，当y≠0时,,z=1±,∴综上所得z1=4，z2=1+i，z3=1－i.例3．设z为虚数，求证：z+为实数的充要条件是|z|=1.证明：设z=a+bi(a,b∈R，b≠0)，于是z+=(a+bi)+,所以b≠0,(z+)∈Rb－=0a2+b2=1|z|=1.例4．复数z满足(z+1)(+1)=||2，且为纯虚数，求z.解：设z=x+yi(x,y∈R)，则(z+1)(+1)=||2+z++1=||2，∴z++1=0，z+=－1，x=－.==为纯虚数，∴x2+y2－1=0,y=±,∴z=－+i或z=－－i.例5．复数z满足(1+2i)z+(3－10i)=4－34i，求z.解：设z=x+yi(x,y∈R)，则(1+2i)(x+yi)+(3－10i)(x－yi)=4－34i，整理得(4x－12y)－(8x+2y)i=4－34i.∴,解得,∴z=4+i.