【高中数学】《复数》知识点 复数高中知识点总结

        【高中数学】《复数》知识点

        一、选择题1．复数z满足

        (2)36zii+=-（i为虚数单位），则复数z的虚部为（）A．3B．3i-C．3iD．3-【答案】D【解析】【分析】首先化简复数z，然后结合复数的定义确定其虚部即可.【详解】由题意可得：()()()()362361151322255iiiiziiii-----====--++-，据此可知，复数z的虚部为3-.本题选择D选项.【点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．2．已知i是虚数单位，44z3i(1i)=-+，则z(=)A．10BC．5D【答案】B【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【详解】4244z3i3i13i(1i)(2i)=-=-=--+，z∴==故选B．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3．已知复数

        (2)zii=-，其中i是虚数单位，则z的模z=()ABC．3D．5【答案】B【解析】

        (2)2ziiii=-=-==B．4．a为正实数，i为虚数单位，2aii+=，则a=（）A．2BCD．1【答案】B【解析】【分析】【详解】2||21230,3aiaaaai+=∴+=∴=±>∴=，选B.5．若zC∈且342zi++≤，则1zi--的最大和最小值分别为,Mm，则Mm-的值等于（）A．3B．4C．5D．9【答案】B【解析】【分析】根据复数差的模的几何意义可得复数z在复平面上对应的点的轨迹，再次利用复数差的模的几何意义得到,Mm，从而可得Mm-的值.【详解】因为342zi++≤，故复数z在复平面上对应的点P到134zi=--对应的点A的距离小于或等于2，所以P在以()3,4C--为圆心，半径为2的圆面内或圆上，又1zi--表示P到复数21zi=+对应的点B的距离，故该距离的最大值为222AB+==，最小值为22AB-=，故4Mm-=.故选：B.【点睛】本题考查复数中12zz-的几何意义，该几何意义为复平面上12,zz对应的两点之间的距离，注意12zz+也有明确的几何意义（可把12zz+化成()12zz--），本题属于中档题.6．欧拉公式eix＝cosx＋isinx(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中对应的点位于()A．【解析】【分析】由题意得2cos2sin2iei=+，得到复数在复平面内对应的点(cos2,sin2)，即可作出解答.【详解】由题意得，e2i＝cos2＋isin2，∴复数在复平面内对应的点为(cos2，sin2)．∵2∈，∴cos2∈(－1，0)，sin2∈(0，1)，∴e2i表示的复数在复平面中对应的点位于7．已知复数izxy=+（x，y∈R），且23z+=1yx-的最大值为（）A3B6C．26+D．26【答案】C【解析】【分析】根据模长公式，求出复数z对应点的轨迹为圆，1yx-表示(,)xy与(0,1)连线的斜率，其最值为过(0,1)点与圆相切的切线斜率，即可求解.【详解】∵复数izxy=+（x，y∈R），且23z+=()2223xy++=()2223xy++=.设圆的切线l：1ykx=+22131kk-+=+化为2420kk--=，解得26k=∴1yx-的最大值为26故选:C.【点睛】本题考查复数的几何意义、轨迹方程、斜率的几何意义，考查数形结合思想，属于中档题.8．（2018江西省景德镇联考）若复数2i2az-=在复平面内对应的点在直线0xy+=上，则z=（）A．2BC．1D．【答案】B【解析】分析：化简复数z，求出对应点坐标，代入直线方程，可求得a的值，从而可得结果.详解：因为复数2i22aazi-==-，所以复数2i2az-=在复平面内对应的点的坐标为,12a⎛⎫-⎪⎝⎭，由复数2i2az-=在复平面内对应的点在直线0xy+=上，可得10212aazi-=⇒==-，,z==，故选B.9．已知i是虚数单位，则复数242izi-=+的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（）A．zi=+，∴复数z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（32105，），所在的象限为12cosziθθ=-++为纯虚数，()0,θπ∈，则θ=（）A．6πB．3πC．23πD．3π或23π【答案】B【解析】分析：由题意得到关于sin,cosθθ的方程组，求解方程组结合题意即可求得三角函数值，由三角函数值即可确定角的大小.详解：若复数()23412zsincosiθθ=-++为纯虚数，则：234sin012cos0θθ⎧-=⎨+≠⎩，即：23sin41cos2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪≠-⎪⎩，结合()0,θπ∈，可知：sin1cos2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故3πθ=.本题选择B选项.点睛：本题主要考查纯虚数的概率，三角函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．复数11i+的共轭复数是（）A．1122i+B．1122i-C．1i-D．1i+【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数11i+，进而可得结果.【详解】因为()()111121211iiiii-+--==+，所以11i+的共轭复数是1122i+，故选：A.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.12．设i是虚数单位，z表示复数z的共轭复数，若231zii=+-，则4zi+=（）A．6B．50C．D【答案】C【解析】【分析】计算5zi=-，再代入计算得到答案.【详解】由231zii=+-，得()()2315ziii=+-=-，则45455ziiii+=++=+=故选：C．【点睛】本题考查了复数运算，共轭复数，复数的模，意在考查学生对于复数知识的综合应用.13．若复数1aizi+=-，且3·0zi>，则实数a的值等于（）A．1B．-1C．12D．12-【答案】A【解析】【分析】由3·0zi>可判定3·zi为实数，利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由实部为0，且虚部不为0列式求解即可.【详解】()()()()()i1i11ii1i1i1i2aaaaz++-+++===--+，所以3·zi=()()()()341i1i1i122aaaa-++--++=，因为3·0zi>，所以3·zi为实数，102a--=可得1a=，1a=时3,?10zi=>，符合题意，故选A.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.14．已知下列三个命题：①若复数z1，z2的模相等，则z1，z2是共轭复数；②z1，z2都是复数，若z1+z2是虚数，则z1不是z2的共轭复数；③复数z是实数的充要条件是zz=.则其中正确命题的个数为()A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】C【解析】【分析】运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断.【详解】对于①中复数1z和2z的模相等，例如1=1+zi,2=2zi，则1z和2z是共轭复数是错误的；对于②1z和2z都是复数，若12+zz是虚数，则其实部互为相反数，则1z不是2z的共轭复数，所以②是正确的;对于③复数z是实数，令za=，则za=所以zz=，反之当zz=时，亦有复数z是实数，故复数z是实数的充要条件是zz=是正确的.综上正确命题的个数是2个.故选C【点睛】本题考查了复数的基本概念，判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识，并能运用举例的方法进行判断，本题较为基础.15．若复数满足，则复数的虚部为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】分析：先根据复数除法法则得复数，再根据复数虚部概念得结果.详解：因为，所以，因此复数的虚部为，选B.点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如.其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为16．在复平面内，复数z满足()112zii+=-，则z对应的点位于（）A．【答案】B【解析】∵()112zii+=-，∴()()()()221211212213131111222iiiiiiiziiiii-----+--=====--++--，∴1322zi=-+，故对应的点在i--．考点：复数的运算及共轭复数的概念.18．复数z满足|||3|zizi-=+，则||z()A．恒等于1B．最大值为1，无最小值C．最小值为1，无最大值D．无最大值，也无最小值【答案】C【解析】【分析】设复数zxyi=+，其中x，yR∈，由题意求出1y=-，再计算||z的值．【详解】解：设复数zxyi=+，其中x，yR∈，由|||3|zizi-=+，得|

        (1)||

        (3)|xyixyi+-=++，2222

        (1)

        (3)xyxy∴+-=++，解得1y=-；222||11zxyx∴=++，即||z有最小值为1，没有最大值．故选：C．【点睛】本题考查了复数的概念与应用问题，是基础题．19．复数满足48izz+=+，则复数z在复平面内所对应的点在（）A．C．复平面内所对应的点为()6,8-，在化简得到，根据纯虚数概念计算得到答案.【详解】为纯虚数，故且，即.故选：.【点睛】本题考查了根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力.