高中数学数列知识点总结 高中数学数列知识点总结思维导图

        数列基础知识点和方法归纳1.等差数列的定义与性质定义：1nnaad+-=d为常数,()11naand=+-等差中项：xAy，，成等差数列2Axy⇔=+前n项和()()11122nnaannnSnad+-==+性质：{}na是等差数列1若mnpq+=+，则mnpqaaaa+=+；2数列{}{}{}12212,,+-nnnaaa仍为等差数列,232nnnnnSSSSS--，，……仍为等差数列，公差为dn2；3若三个成等差数列，可设为adaad-+，，4若nnab，是等差数列，且前n项和分别为nnST，，则2121mmmmaSbT--=5{}na为等差数列2nSanbn⇔=+ab，为常数，是n的常数项为0的二次函数nS的最值可求二次函数2nSanbn=+的最值；或者求出{}na中的正、负分界项,即：当100ad><，，解不等式组100nnaa+≥⎧⎨≤⎩可得nS达到最大值时的n值.当100ad<>，，由10nnaa+≤⎧⎨≥⎩可得nS达到最小值时的n值.6项数为偶数n2的等差数列{}na,有),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=nnnnnnnaaaanaanaanSndSS=-奇偶,1+=nnaaSS偶奇.7项数为奇数12-n的等差数列{}na,有)()12(12为中间项nnnaanS-=-,naSS=-偶奇,1-=nnSS偶奇.2.等比数列的定义与性质定义：1nnaqa+=q为常数,0q≠,11nnaaq-=.等比中项：xGy、、成等比数列2Gxy⇒=,或G=前n项和：()11

        (1)1

        (1)1nnnaqSaqqq=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩要注意性质：{}na是等比数列1若mnpq+=+，则mnpqaaaa=··2232nnnnnSSSSS--，，……仍为等比数列，公比为nq.注意：由nS求na时应注意什么1n=时,11aS=；2n≥时,1nnnaSS-=-.3．求数列通项公式的常用方法1求差商法如：数列{}na,12211125222nnaaan+++=+……，求na解1n=时,112152a=⨯+,∴114a=①2n≥时,12121111215222nnaaan--+++=-+……②①—②得：122nna=,∴12nna+=,∴114

        (1)2

        (2)nnnan+=⎧=⎨≥⎩练习数列{}na满足111543nnnSSaa+++==，，求na注意到11nnnaSS++=-，代入得14nnSS+=；又14S=,∴{}nS是等比数列,4nnS=2n≥时,1134nnnnaSS--=-==……·2叠乘法如：数列{}na中,1131nnanaan+==+，，求na解3212112123nnaaanaaan--=·……·……,∴11naan=又13a=,∴3nan=.3等差型递推公式由110()nnaafnaa--==，，求na，用迭加法2n≥时,21321

        (2)

        (3)()nnaafaafaafn--=⎫⎪-=⎪⎬⎪⎪-=⎭…………两边相加得1

        (2)

        (3)()naafffn-=+++……∴0

        (2)

        (3)()naafffn=++++……练习数列{}na中,()111132nnnaaan--==+≥，，求na()1312nna=-4等比型递推公式1nnacad-=+cd、为常数,010ccd≠≠≠，，可转化为等比数列，设()()111nnnnaxcaxacacx--+=+⇒=+-令

        (1)cxd-=,∴1dxc=-,∴1ndac⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是首项为11dacc+-，为公比的等比数列∴1111nnddaaccc-⎛⎫+=+⎪--⎝⎭·,∴1111nnddaaccc-⎛⎫=+-⎪--⎝⎭5倒数法如：11212nnnaaaa+==+，，求na由已知得：1211122nnnnaaaa++==+,∴11112nnaa+-=∴1na⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,111a=，公差为12,∴()()11111122nnna=+-=+·,∴21nan=+附：公式法、利用{1

        (2)1

        (1)nnSSnSnna--≥==、累加法、累乘法.构造等差或等比1nnapaq+=+或1()nnapafn+=+、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法4.求数列前n项和的常用方法1裂项法把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.如：{}na是公差为d的等差数列，求111nkkkaa=+∑解：由()()11111110kkkkkkdaaaaddaa++⎛⎫==-≠⎪+⎝⎭·∴11111223111111111111nnkkkkkknnaadaadaaaaaa==+++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-++-⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑……11111ndaa+⎛⎫=-⎪⎝⎭练习求和：111112123123n+++++++++++

        (1)21nnaSn===-+…………，2错位相减法若{}na为等差数列,{}nb为等比数列，求数列{}nnab差比数列前n项和，可由nnSqS-，求nS，其中q为{}nb的公比.如：2311234nnSxxxnx-=+++++……①()23412341nnnxSxxxxnxnx-=+++++-+·……②①—②()2111nnnxSxxxnx--=++++-……1x≠时,()()2111nnnxnxSxx-=---,1x=时,()11232nnnSn+=++++=……3倒序相加法把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.121121nnnnnnSaaaaSaaaa--=++++⎫⎬=++++⎭…………相加()()()12112nnnnSaaaaaa-=++++++……练习已知22()1xfxx=+，则111

        (1)

        (2)

        (3)

        (4)234fffffff⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++=⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由2222222111()111111xxxfxfxxxxx⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭+=+=+=⎪+++⎝⎭⎛⎫+⎪⎝⎭∴原式11111

        (1)

        (2)

        (3)

        (4)111323422fffffff⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++=+++=⎪⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦附：a.用倒序相加法求数列的前n项和如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法；我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”;b.用公式法求数列的前n项和对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解；运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算;c.用裂项相消法求数列的前n项和裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和;d.用错位相减法求数列的前n项和错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式；即若在数列{an·bn}中,{an}成等差数列,{bn}成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和;e.用迭加法求数列的前n项和迭加法主要应用于数列{an}满足an+1=an+fn，其中fn是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成an+1-an=fn，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出an，从而求出Sn;f.用分组求和法求数列的前n项和所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并;g.用构造法求数列的前n项和所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前n项和;