数列知识点总结 数列知识点总结手写

        数列知识点总结1.等差数列的定义与性质定义：1nnaad+-=<d为常数>,()11naand=+-等差中项：xAy，，成等差数列2Axy⇔=+前n项和()()11122nnaannnSnad+-==+性质：{}na是等差数列<1>若mnpq+=+，则mnpqaaaa+=+；<2>数列{}{}{}12212,,+-nnnaaa仍为等差数列,232nnnnnSSSSS--，，……仍为等差数列，公差为dn2；<3>若三个成等差数列，可设为adaad-+，，<4>若nnab，是等差数列，且前n项和分别为nnST，，则2121mmmmaSbT--=<5>{}na为等差数列2nSanbn⇔=+<ab，为常数，是关于n的常数项为0的二次函数>。nS的最值可求二次函数2nSanbn=+的最值；或者求出{}na中的正、负分界项,<即：当100ad><，，解不等式组100nnaa+≥⎧⎨≤⎩可得nS达到最大值时的n值；当100ad<>，,由10nnaa+≤⎧⎨≥⎩可得nS达到最小值时的n值.><6>项数为偶数n2的等差数列{}na,有ndSS=-奇偶,1+=nnaaSS偶奇.<7>项数为奇数12-n的等差数列{}na,有)()12(12为中间项nnnaanS-=-,naSS=-偶奇,1-=nnSS偶奇.2.等比数列的定义与性质定义：1nnaqa+=<q为常数,0q≠>,11nnaaq-=.等比中项：xGy、、成等比数列2Gxy⇒=,或G=前n项和：()11

        (1)1

        (1)1nnnaqSaqqq=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩性质：{}na是等比数列<1>若mnpq+=+，则mnpqaaaa=··<2>232nnnnnSSSSS--，，……仍为等比数列，公比为nq.3．求数列通项公式的常用方法◆由nS求na。<⎩⎨⎧=≥-=-1,2,11nSnSSannn>例1：数列{}na,12211125222nnaaan+++=+……，求na解1n=时,112152a=⨯+,∴114a=2n≥时,12211125222nnaaan+++=+……①12121111215222nnaaan--+++=-+……②①—②得：122nna=,∴12nna+=,∴114

        (1)2

        (2)nnnan+=⎧=⎨≥⎩［练习］数列{}na满足111543nnnSSaa+++==，，求na注意到11nnnaSS++=-，代入上式整理得14nnSS+=，又14S=,∴{}nS是等比数列，故4nnS=。

        2n≥时,1134nnnnaSS--=-==……·⎩⎨⎧=≥⋅=-1,42,431nnann故◆由递推公式求na<1>累加法<；形式)(1nfaann=-+>例2：数列{}na中,()111132nnnaaan--==+≥，，求na解：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=-=-=-≥-----33321222111aaaaaannnnnnn时，累加得2)13(33331121-=+++=---nnnaa<2>累乘法<形式)(1nfaann=+>例3：数列{}na中,1131nnanaan+==+，，求na解：3212112123nnaaanaaan--=·……·……,∴11naan=又13a=,∴3nan=.<3>构造新数列<；构造的新数列必为等比数列或等差数列>▼取倒构造<1+na等于关于na的分式表达>例4：11212nnnaaaa+==+，，求na解：由已知得：1211122nnnnaaaa++==+,∴11112nnaa+-=∴1na⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,111a=，公差为12,∴()()11111122nnna=+-=+·,∴21nan=+▼同除构造例5：nnnnaaaa求,33,111+==+。解：对上式两边同除以13+n，得313311+=++nnnnaa，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧nna3为等差数列,3131=a，公差为31,∴331)1(313nnann=⋅-+=,∴1333-⋅=⋅=nnnnna。例6：11132,1+++==nnnaaa，求na。

        解：对上式两边同除以12+n，得111)23(22++++=nnnnnaa，令nnnab2=，则有1123++⎪⎭⎫⎝⎛=-nnnbb，累加法可得89)21

        (43321)23

        (1)23(121-=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅=--nnnbb,,21211==ab又则85)21(43-=nnb，即43285,85)21(432+⋅-=-=nnnnnaa。例7：nnnnnaaaaaa求,02,1111=+-=--。解：对上式两边同除以1-nnaa，得02111=+--nnaa，即2111+=-nnaa，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧na1为等差数列,111=a，公差为2,∴12)1(211-=-+=nnan,∴121-=nan。

        ▼取对构造<；涉与na的平方>例8：.,3,3211nnnaaaa求==+解：对上式两边取对数，得213lglgnnaa=+，由对数运算性质得3lglg2lg1+=+nnaa两边同时加3lg，整理得,lg23lg),3lg(lg23lglg11nnnnaaaa=+=+++即则{}na3lg为公比为2的等比数列，由此推知na通项公式。▼等比型<；常用待定系数>例9：nnnaaaa求,23,111+==+。解：待定系数法设上式可化为如下形式：)(31kakann+=++，整理可知22=k，则1=k,∴原式可化为)1(311+=++nnaa，则{}1+na为公比=3的等比数列，由此推知na通项公式。

        例10：134,211+-==+naaann，求na。解：待定系数法设上式可化为如下形式：)

        (4)1(1bknabnkann++=++++，整理可知⎩⎨⎧=--=1333kbk，得0,1=-=bk,∴原式可化为)

        (4)1(1nanann-=+-+，则{}nan-为公比=4的等比数列，由此推知na通项公式。▼提公因式例11：nnnnaaaaa求,21,111=+=+。

        解：上式变形为11-=-+nnnnaaaa，等号左边提公因式得()111-=-+nnnaaa,,111nnnaaa-=-+两边取倒数得11111,11111+-=--=-++nnnnnaaaaa,⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11na为公差为1的等差数列，由此推知na通项公式。例12：)2(32,3,21121≥-===-+naaaaannn当，求na。解：上式变形为()11112,22-+-+-=--=-nnnnnnnnaaaaaaaa，令nnnaab-=+1，则121-=nnbb,{}112121,1-⎪⎭⎫⎝⎛==nnnbbb的等比数列，公比为为首项,1121-+⎪⎭⎫⎝⎛=-nnnaa；由累加法可求得na通项公式。

        4.求数列前n项和的常用方法<1>分组求和<；分组后用公式>例13：求和nn21813412211++++。解：原式=)21814121()321(21813412211nnnn+++++++++=++++++++=2)1

        (211211)211

        (212)1(++-=--++nnnnnn<2>裂项相消<；把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.>常用：111)1(1+-=+nnnn；)211

        (21)2(1+-=+nnnn；nnnn-+=++111。<3>错位相减<；通项可表示为等差乘等比的形式>例14：2311234nnSxxxnx-=+++++……求nS。

        解：2311234nnSxxxnx-=+++++……①()23412341nnnxSxxxxnxnx-=+++++-+·……②①—②()2111nnnxSxxxnx--=++++-……1x≠时,()()2111nnnxnxSxx-=---,1x=时,()11232nnnSn+=++++=……[练习]求数列nnSnn项和的前⎭⎬⎫⎩⎨⎧2。<；答案：nnnS222+-=><4>倒序相加<；前后项之和为定值。把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.>121121nnnnnnSaaaaSaaaa--=++++⎫⎬=++++⎭…………相加()()()12112nnnnSaaaaaa-=++++++……5.求数列绝对值的前n项和<；根据项的正负，分类讨论>例15：已知数列{}na的通项nan211-=,nnab=，求{}nb的前n项和nT。

        解：设数列{}na的前n项和为nS,,2,91-==da公差210)2

        (2)1(9nnnnnSn-=-⋅-+=5≤n时,2212110nnSaaaaaaTnnnn-==+++=+++=5>n时,∴⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-=5,50105,1022nnnnnnTn。