等差数列知识点总结和题型归纳 等差数列基础知识总结

        等差数列一．等差数列知识点：知识点

        1、等差数列的定义:①如果一个数列从④如果等差数列{}na的首项是1a，公差是d，则等差数列的通项为dnaan)1(1-+=该公式整理后是关于n的一次函数知识点

        4、等差数列的前n项和:⑤2)(1nnaanS+=⑥dnnnaSn2)1(1-+=对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数知识点

        5、等差中项:⑥如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项即：2baA+=或baA+=2在一个等差数列中，从⑨若数列{}na是等差数列，nS是其前n项的和，*Nk∈，那么kS，kkSS-2，kkSS23-成等差数列如下图所示：kkkkkSSSkkSSkkkaaaaaaaa3232k31221S321-+-+++++++++++

        10、等差数列的前n项和的性质：①若项数为()*2nn∈N，则()21nnnSnaa+=+，且SSnd-=偶奇，1nnSaSa+=奇偶．②若项数为()*21nn-∈N，则()2121nnSna-=-，且nSSa-=奇偶，1SnSn=-奇偶〔其中nSna=奇，()1nSna=-偶〕．

        二、题型选析：题型

        一、计算求值〔等差数列基本概念的应用〕

        1、.等差数列{an}的前三项依次为a-6，2a-5，-3a+2，则a等于〔)A.-1B.1C.-2D.22．在数列{an}中，a1=2，2an+1=2an+1，则a101的值为〔〕A．49B．50C．51D．523．等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是〔〕A．92B．47C．46D．45

        4、已知等差数列}{na中，12497,1,16aaaa则==+的值是()()A15B30C31D645.首项为－24的等差数列，从C.38≤d＜3D.38＜d≤

        36、.在数列}{na中，31=a，且对任意大于1的正整数n，点),(1-nnaa在直03=--yx上，则na=_____________.

        7、在等差数列{an}中，a5＝3，a6＝－2，则a4＋a5＋…＋a10＝．

        8、等差数列{}na的前n项和为nS，若＝则432,3,1Saa==〔〕〔A〕12〔B〕10〔C〕8〔D〕

        69、设数列{}na的首项)Nn(2aa,7an1n1∈+=-=+且满足，则=+++1721aaa______.

        10、已知{an}为等差数列，a3+a8=22，a6=7，则a5=__________

        11、已知数列的通项an=-5n+2，则其前n项和为Sn=.

        12、设nS为等差数列{}na的前n项和，4S＝14，30SS710=-，则9S＝.题型

        二、等差数列性质

        1、已知｛an｝为等差数列，a2+a8=12，则a5等于〔〕(A)4(B)5(C)6(D)

        72、设nS是等差数列{}na的前n项和，若735S=，则4a=〔〕A．8B．7C．6D．

        53、若等差数列{}na中，37101148,4,aaaaa+-=-=则7__________.a=

        4、记等差数列{}na的前n项和为nS，若42=S，204=S，则该数列的公差d=〔〕A．7B.6C.3D.2

        5、等差数列{}na中，已知31a1=，4aa52=+，33an=，则n为〔〕〔A〕48〔B〕49〔C〕50〔D〕516.、等差数列{an}中，a1=1,a3+a5=14，其前n项和Sn=100，则n=〔〕(A)9(B)10(C)11(D)12

        7、设Sn是等差数列{}na的前n项和，若==5935,95SSaa则〔〕A．1B．－1C．2D．21

        8、已知等差数列{an}满足α1＋α2＋α3＋…＋α101＝0则有()A．α1＋α101＞0B．α2＋α100＜0C．α3＋α99＝0D．α51＝

        519、如果1a，2a，…，8a为各项都大于零的等差数列，公差0d≠，则()〔A〕1a8a>45aa〔B〕8a1a<45aa〔C〕1a+8a>4a+5a〔D〕1a8a=45aa

        10、若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有〔〕〔A〕13项〔B〕12项〔C〕11项〔D〕10项题型

        三、等差数列前n项和

        1、等差数列{}na中，已知12310aaaap++++=，98nnnaaaq--+++=，则其前n项和nS=．

        2、等差数列,4,1,2-的前n项和为〔〕A.()4321-nnB.()7321-nnC.()4321+nnD.()7321+nn

        3、已知等差数列{}na满足099321=++++aaaa，则〔〕A.0991>+aaB.0991<+aaC.0991=+aaD.5050=a

        4、在等差数列{}na中，78,1521321=++=++--nnnaaaaaa，155=nS，则=n。

        5、等差数列{}na的前n项和为nS，若2462,10,SSS==则等于〔〕A．12B．18C．24D．

        426、若等差数列共有12+n项()*Nn∈，且奇数项的和为44，偶数项的和为33，则项数为〔〕A.5B.7C.9D.

        117、设等差数列{}na的前n项和为nS，若39S=，636S=，则789aaa++=

        8、若两个等差数列{}na和{}nb的前n项和分别是nnST，，已知73nnSnTn=+，则55ab等于〔〕Ａ．7Ｂ．23Ｃ．278Ｄ．214题型

        四、等差数列综合题精选

        1、等差数列{na}的前n项和记为Sn.已知.50,302010==aa〔Ⅰ〕求通项na；〔Ⅱ〕若Sn=242，求n.

        2、已知数列{}na是一个等差数列，且21a=，55a=-。〔1〕求{}na的通项na；〔2〕求{}na前n项和nS的最大值。

        3、设{}na为等差数列，nS为数列{}na的前n项和，已知77=S，7515=S，nT为数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧nSn的前n项和，求nT。

        4、已知{}na是等差数列，21=a，183=a；{}nb也是等差数列，4a22=-b，3214321aaabbbb++=+++。〔1〕求数列{}nb的通项公式与前n项和nS的公式；〔2〕数列{}na与{}nb是否有相同的项？若有，在100以内有几个相同项？若没有，请说明理由。

        5、设等差数列{an}的首项a1与公差d都为整数，前n项和为Sn.(Ⅰ)若a11=0,S14=98，求数列｛an｝的通项公式；(Ⅱ)若a1≥6，a11＞0，S14≤77，求所有可能的数列｛an｝的通项公式.

        6、已知二次函数()yfx=的图像经过坐标原点，其导函数为'()62fxx=-，数列{}na的前n项和为nS，点(,)()nnSnN*∈均在函数()yfx=的图像上。(Ⅰ)求数列{}na的通项公式；(Ⅱ)设1nnnaa3b+=,nT是数列{}nb的前n项和，求使得20nmT<；对所有nN*∈都成立的最小正整数m；

        五、等差数列习题精选

        1、等差数列}{na的前三项依次为x，12+x，24+x，则它的C、29D、12

        3、设{}na是公差为正数的等差数列，若12315aaa++=，12380aaa=，则111213aaa++=()A．120B．105C．90D．75

        4、若等差数列}{na的公差0≠d，则〔〕〔A〕5362aaaa>〔B〕5362aaaa<〔C〕5362aaaa=〔D〕62aa与53aa的大小不确定

        5、已知{}na满足，对一切自然数n均有1nnaa+>，且2nannλ=+恒成立，则实数λ的取值X围是〔〕Ａ．0λ>Ｂ．0λ<Ｃ．0λ=Ｄ．3λ>-

        6、等差数列{}daaadaan成等比数列，则若公差中，5211,,,0,1≠=为〔〕(A)3(B)2(C)2-(D)2或2-

        7、在等差数列{}na中，)(,qppaqaqp≠==，则=+qpaA、qp+B、)(qp+-C、0D、pq

        8、设数列{}na是单调递增的等差数列，前三项和为12，前三项的积为48，则它的首项是A、1B、2C、4D、

        89、已知为等差数列，135246105,99aaaaaa++=++=，则20a等于〔〕A.-1B.1C.3D.

        710、已知{}na为等差数列，且7a－24a＝－1,3a＝0，则公差d＝A.－2B.－12C.12D.

        211、在等差数列{}na中，284aa+=，则其前9项的和S9等于〔〕A．18B27C36D

        912、设等差数列{}na的前n项和为nS，若39S=，636S=，则789aaa++=〔〕A．63B．45C．36D．27

        13、在等差数列{}na中，78,1521321=++=++--nnnaaaaaa，155=nS，则=n。

        14、数列{}na是等差数列，它的前n项和可以表示为〔〕A.CBnAnSn++=2B.BnAnSn+=2C.CBnAnSn++=2()0≠aD.BnAnSn+=2()0≠a小结

        1、等差中项：若,,aAb成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且2abA+=

        2、为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2adadaadad--++…〔公差为d〕；偶数个数成等差，可设为…，3,,,3adadadad--++,…〔公差为2d〕

        3、当公差0d≠时，等差数列的通项公式11

        (1)naanddnad=+-=+-是关于n的一次函数，且斜率为公差d；若公差0d>，则为递增等差数列，若公差0d<，则为递减等差数列，若公差0d=，则为常数列。

        4、当mnpq+=+时，则有qpnmaaaa+=+，特别地，当2mnp+=时，则有2mnpaaa+=.

        5、若{}na、{}nb是等差数列，则{}nka、{}nnkapb+(k、p是非零常数)、*{}(,)pnqapqN+∈、232,,nnnnnSSSSS--，…也成等差数列，而{}naa成等比数列；等差数列参考答案题型一：计算求值题型

        二、等差数列的性质

        1、C

        2、D

        3、12〔a3+a7-a10+a11-a4=8+4=a7=12〕

        4、C

        5、C

        6、B

        7、A

        8、C

        9、B

        10、A题型

        三、等差数列前n项和

        1、5n(p+q)

        2、B

        3、C

        4、n=

        105、

        246、S奇/S偶=n/n-1=4/3,n=

        47、

        458、D〔a5/b5=S9/T9〕题型四：等差数列综合题精选

        1、解：〔Ⅰ〕由,50,30,)1(20101==-+=aadnaan得方程组⎩⎨⎧=+=+.5019,30911dada……4分解得.2,121==da所以.102+=nan〔Ⅱ〕由242,2)1(1=-+=nnSdnnnaS得方程.24222)1(12=⨯-+nnn……10分解得).(2211舍去或-==nn

        2、解：〔Ⅰ〕设{}na的公差为d，由已知条件，得11145adad+=⎧⎨+=-⎩，解出13a=，2d=-．所以1

        (1)25naandn=+-=-+．〔Ⅱ〕21

        (1)42nnnSnadnn-=+=-+24

        (2)n=--．所以2n=时，nS取到最大值4．

        3、解：设等差数列{}na的公差为d，则()dnnnaSn1211-+=∵77=S，7515=S，∴⎩⎨⎧=+=+,7510515,721711dada即⎩⎨⎧=+=+,57,1311dada解得21-=a，1=d。∴()()12121211-+-=-+=ndnanSn，∵2111=-++nSnSnn，∴数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧nSn是等差数列，其首项为2-，公差为21，∴nnTn49412-=。

        4、解：〔1〕设{an}的公差为d1，{bn}的公差为d2由a3=a1+2d1得82ad131=-=a所以68n)1n(82an-=-+=，所以a2=10,a1+a2+a3=30依题意，得⎪⎩⎪⎨⎧=⨯+=+30d2344b6db2121解得⎩⎨⎧==3d3b21，所以bn=3+3(n-1)=3n.23232)(21nnbbnSnn+=+=〔2〕设an=bm，则8n-6=3m,既8)2m(3n+=①，要是①式对非零自然数m、n成立，只需m+2=8k,+∈Nk，所以m=8k-2，+∈Nk②②代入①得，n=3k,+∈Nk，所以a3k=b8k-2=24k-6，对一切+∈Nk都成立。

        所以，数列{}na与{}nb有无数个相同的项。令24k-6<100，得,1253k<；又+∈Nk，所以k=1,2,3,4.即100以内有4个相同项。

        5、解：〔Ⅰ〕由S14=98得2a1+13d=14,又a11=a1+10d=0，故解得d=－2,a1=20.因此，{an}的通项公式是an=22－2n,n=1,2,3…〔Ⅱ〕由⎪⎩⎪⎨⎧≥〉≤6,0,7711114aaS得⎪⎩⎪⎨⎧≥〉+≤+6,010,11132111adada即⎪⎩⎪⎨⎧-≤-〈--≤+122,0202,11132111adada由①+②得－7d＜11。

        即d＞－711。由①+③得13d≤－1即d≤－131于是－711＜d≤－131，又d∈Z,故d=－1，将④代入①②得10＜a1≤12.又a1∈Z，故a1=11或a1=12.所以，所有可能的数列{an}的通项公式是an=12-n和an=13-n,n=1,2,3,…

        6、解：〔Ⅰ〕设这二次函数f(x)＝ax2+bx(a≠0)，则f`(x)=2ax+b，由于f`(x)=6x－2，得a=3,b=－2,所以f(x)＝3x2－2x.又因为点(,)()nnSnN*∈均在函数()yfx=的图像上，所以nS＝3n2－2n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝〔3n2－2n〕－[])1

        (2)132---nn（＝6n－5.当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5〔nN*∈〕〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得知13+=nnnaab＝[]5)1

        (6)56(3---nn＝)161561(21+--nn，故Tn＝∑=niib1＝21⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--++-+-)161561(...)13171()711(nn＝21〔1－161+n〕.因此，要使21〔1－161+n〕<20m〔nN*∈〕成立的m，必须且仅须满足21≤20m，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10题型

        五、精选练习