高中数列知识点总结(附例题) 高中数列知识点总结思维导图

        高中数列知识点总结（附例题）知识点1：等差数列及其前n项1．等差数列的定义2．等差数列的通项公式如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式an＝a1＋(n－1)d.3．等差中项如果A＝，那么A叫做a与b的等差中项．4．等差数列的常用性质

        (1)通项公式的推广：an＝am＋（n-m）d，(n，m∈N*)．

        (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n，(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.

        (3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.

        (4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．

        (5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．5．等差数列的前n项和公式设等差数列{an}的公差d，其前n项和Sn＝或Sn＝na1＋d.6．等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn＝n2＋n.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn，(A、B为常数)．7．等差数列的最值在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．[难点正本疑点清源]1．等差数列的判定

        (1)定义法：an－an－1＝d(n≥2)；

        (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2.2．等差数列与等差数列各项和的有关性质

        (1)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为kd.

        (2)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．

        (3)S2n－1＝(2n－1)an.

        (4)若n为偶数，则S偶－S奇＝d.若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．例1（等差数列的判定或证明）：已知数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝(n∈N*)．

        (1)求证：数列{bn}是等差数列；

        (2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．

        (1)证明∵an＝2－(n≥2，n∈N*)，bn＝.∴n≥2时，bn－bn－1＝－＝－＝－＝1.∴数列{bn}是以－为首项，1为公差的等差数列．

        (2)解由

        (1)知，bn＝n－，则an＝1＋＝1＋，设函数f(x)＝1＋，易知f(x)在区间和内为减函数．∴当n＝3时，an取得最小值－1；当n＝4时，an取得最大值3.例2（等差数列的基本量的计算）设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0.

        (1)若S5＝5，求S6及a1

        (2)求d的取值范围．解

        (1)由题意知S6＝＝－3，a6＝S6－S5＝－8.所以解得a1＝7，所以S6＝－3，a1＝7.

        (2)方法一∵S5S6＋15＝0，∴(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，即2a＋9da1＋10d2＋1＝0.因为关于a1的一元二次方程有解，所以Δ＝81d2－8(10d2＋1)＝d2－8≥0，解得d≤－2或d≥2.方法二∵S5S6＋15＝0，∴(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，9da1＋10d2＋1＝0.故(4a1＋9d)2＝d2－8.所以d2≥8.故d的取值范围为d≤－2或d≥2.例3（前n项和及综合应用）

        (1)在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值；

        (2)已知数列{an}的通项公式是an＝4n－25，求数列{|an|}的前n项和．解方法一∵a1＝20，S10＝S15，∴10×20＋d＝15×20＋d，∴d＝－.∴an＝20＋(n－1)×＝－n＋.∴a13＝0，即当n≤12时，an>0，n≥14时，an<0，∴当n＝12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S13＝S12＝12×20＋×＝130.方法二同方法一求得d＝－.∴Sn＝20n＋·＝－n2＋n＝－2＋.∵n∈N*，∴当n＝12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.

        (2)∵an＝4n－25，an＋1＝4(n＋1)－25，∴an＋1－an＝4＝d，又a1＝4×1－25＝－21.所以数列{an}是以－21为首项，以4为公差的递增的等差数列．令由①得n<6；由②得n≥5，所以n＝6.即数列{|an|}的前6项是以21为首项，公差为－4的等差数列，从＝例4，已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为3例5等差数列的前n项和分别为，且,则使得为正整数的正整数n的个数是3.（先求an/bnn=5,13,35）已知递推关系求通项：这类问题的要求不高，但试题难度较难把握.一般有三常见思路：

        (1)算出前几项，再归纳、猜想；

        (2)“an+1=pan+q”这种形式通常转化为an+1+λ=p(an+λ),由待定系数法求出,再化为等比数列；

        (3)逐差累加或累乘法.例6已知数列中，，当时，其前项和满足，则数列的通项公式为例7在数列中，，，则.知识点2：等比数列及其n项和1．等比数列的定义2．等比数列的通项公式3．等比中项若G2＝a·b(ab≠0)，那么G叫做a与b的等比中项．4．等比数列的常用性质

        (1)通项公式的推广：an＝anqn－m，(n，m∈N*)．

        (2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n，(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an.

        (3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．5．等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.6．等比数列前n项和的性质公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.7.等比数列的单调性q>10<q<1q=1q<0a>0递增递减常数列摆动数列a<0递减递增常数列摆动数列【难点】1．等比数列的特征从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非常数．2．等比数列中的函数观点利用函数、方程的观点和方法，揭示等比数列的特征及基本量之间的关系．在借用指数函数讨论单调性时，要特别注意首项和公比的大小．3．等比数列的前n项和Sn

        (1)等比数列的前n项和Sn是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用．

        (2)等比数列的通项公式an＝a1qn－1及前n项和公式Sn＝＝(q≠1)共涉及五个量a1，an，q，n，Sn，知三求二，体现了方程的思想的应用．

        (3)在使用等比数列的前n项和公式时，如果不确定q与1的关系，一般要用分类讨论的思想，分公比q＝1和q≠1两种情况．例1：

        (1)在等比数列{an}中，已知a6－a4＝24，a3a5＝64，求{an}的前8项和S8；

        (2)设等比数列{an}的公比为q(q>0)，它的前n项和为40，前2n项和为3280，且前n项中数值最大的项为27，求数列的将a1q3＝－8代入①式，得q2＝－2，无解将a1q3＝8代入①式，得q2＝4，∴q＝±2.，故舍去．当q＝2时，a1＝1，∴S8＝＝255；当q＝－2时，a1＝－1，∴S8＝＝85.

        (2)若q＝1，则na1＝40,2na1＝3280，矛盾．∴q≠1，∴得：1＋qn＝82，∴qn＝81，③将③代入①得q＝1＋2a1.④又∵q>0，∴q>1，∴a1>0，{an}为递增数列．∴an＝a1qn－1＝27，⑤由③、④、⑤得q＝3，a1＝1，n＝4.∴a2n＝a8＝1×37＝2187.例2已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.

        (1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；

        (2)求数列{bn}的通项公式．1)证明∵an＋Sn＝n，①∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.②②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，∴＝，∴{an－1}是等比数列．∵首项c1＝a1－1，又a1＋a1＝1，∴a1＝，∴c1＝－，公比q＝.又cn＝an－1，∴{cn}是以－为首项，为公比的等比数列．

        (2)解由

        (1)可知cn＝·n－1＝－n，∴an＝cn＋1＝1－n.∴当n≥2时，bn＝an－an－1＝1－n－＝n－1－n＝n.又b1＝a1＝代入上式也符合，∴bn＝n.例3在等比数列{an}中，

        (1)若已知a2＝4，a5＝－，求an；

        (2)若已知a3a4a5＝8，求a2a3a4a5a6的值．解

        (1)设公比为q，则＝q3，即q3＝－，∴q＝－，∴an＝a5·qn－5＝n－4.

        (2)∵a3a4a5＝8，又a3a5＝a，∴a＝8，a4＝2.∴a2a3a4a5a6＝a＝25＝32.例4已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝，n∈N*.

        (1)令bn＝an＋1－an，证明：{bn}是等比数列；

        (2)求{an}的通项公式．规范解答

        (1)证明b1＝a2－a1＝1，[1分]当n≥2时，bn＝an＋1－an＝－an＝－(an－an－1)＝－bn－1，[5分]∴{bn}是首项为1，公比为－的等比数列．[6分]

        (2)解由

        (1)知bn＝an＋1－an＝n－1，[8分]当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)[10分]＝1＋1＋＋…＋n－2＝1＋＝1＋＝－n－1当n＝1时，－1－1＝1＝a1，∴an＝－n－1(n∈N*)．[14分]例4（07重庆11）设的等比中项，则a+3b的最大值为2.（三角函数）例5若数列1,2cosθ,22cos2θ,23cos3θ,…,前100项之和为0,则θ的值为（）例6△ABC的三内角成等差数列,三边成等比数列,则三角形的形状为__等边三角形__________.【综合应用】例7.已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d>0，且∴(1＋4d)2＝(1＋d)(1＋13d)．解得d＝2(∵d>0).∴an＝1＋(n－1)·2＝2n－1.又b2＝a2＝3，b3＝a5＝9，∴数列{bn}的公比为3，∴bn＝3·3n－2＝3n－1.2)由＋＋…＋＝an＋1得当n≥2时，＋＋…＋＝an.两式相减得：n≥2时，＝an＋1－an＝2.∴cn＝2bn＝2·3n－1(n≥2)．又当n＝1时，＝a2，∴c1＝3.∴cn＝.∴c1＋c2＋c3＋…＋c2013＝3＋＝3＋(－3＋32013)＝32013.知识点3：数列的基本知识1，例1：设数列的前n项和，则的值为15.2，数列的递推公式及应用：利用数列的递推公式求数列的通项公式，一般有三种方法：累加法，累积法，构造法①对形如的递推公式，可令，整理得，所以是等比数列②对形如的递推公式，两边取倒数后换元转化为，再求出即可例2：已知数列满足，则的最小值为10.5